Question

В плоскости ромба АВСД проведена через его вершину Д прямая Л параллельная диагонали АС . Точка Р не принадлежит плоскости ромба . Докажите что прямая Л параллельна прямой проходящей через середины отрезков АР и СР

Answer 1

Прямая M, проходящая через середины AP и CP, является средней линией в треугольнике APC, следовательно параллельна его основанию, M || AC. По условию L || AC. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны, M || L.

Answer 2

Для начала дадим обозначения:

Пусть АВСD - ромб. Пусть М и Н - середины отрезков АР и СР соответственно. Пусть Л - прямая, параллельная диагонали АС и проходящая через вершину Д. Пусть К - точка пересечения прямой МН и прямой Л.

Теперь докажем, что прямая Л параллельна прямой МН.

Доказательство:

1. Из определения середины отрезка следует, что М и Н делят соответствующие стороны ромба пополам. То есть, М - середина стороны АД, а Н - середина стороны СД.

2. Так как Л - прямая, параллельная диагонали АС, и вершина Д лежит на прямой Л, то Л также параллельна сторонам ромба АВ и СД.

3. Из свойств параллельных прямых следует, что угол между прямой Л и стороной АВ равен углу между прямой Л и стороной СД (оба угла - прямые).

4. Теперь рассмотрим треугольники АРК и СРК:

   • В этих треугольниках угол между прямой Л и стороной АР равен углу между прямой Л и стороной СР (вывод из пункта 3).
   • Углы при вершинах А и С в ромбе равны (свойства ромба).
   • Стороны АР и СР равны (М и Н - середины соответствующих сторон ромба).

5. По признаку равенства треугольников АРК и СРК получаем, что треугольники АРК и СРК равны.

6. Из равенства треугольников следует, что стороны AK и CK равны, а значит, точка К лежит на прямой МН, проходящей через середины отрезков АР и СР.

Таким образом, мы доказали, что прямая Л параллельна прямой, проходящей через середины отрезков АР и СР.