Question

Хорда паралельна диаметру окружности, другой диаметр проходит через ее середину. Докажите, что эти диаметры взаимно перпендикулярны. Плиииииииииз!!!!!!!

Answer 1

Хорда параллельна одному их диаметров. Второй диаметр проходит через середину хорды и центр окружности, являющийся серединой диаметра.  

 

Это означает, что у двух диаметров есть одна общая точка-центр окружности. Аксиома гласит, что через данную точку плоскости (центр окружности в нашем случае) можно провести перпендикуляр к данной прямой только один. Вывод: Существует только ещё 1 диаметр перпендикулярный первому диаметру.  

 

Другая аксиома гласит: "Два перпендикуляра к одной и той же прямой параллельны между собой. "У нас параллельны хорда и один из диаметров, то они и является теми двумя перпендикулярами к одной и той же прямой (проходящей через второй диаметр). И хорда, и первый диаметр являются перпендикулярами ко второму диаметру. Что и следовало доказать.

Answer 2

Доказательство взаимной перпендикулярности данных диаметров довольно просто. Для начала обозначим следующие точки и отрезки:

Пусть у нас есть окружность с центром O и радиусом r. Предположим, что хорда параллельна одному из диаметров и проходит через точки A и B. Пусть CD - другой диаметр окружности, проходящий через точку O и точку пересечения хорды AB. Обозначим точку пересечения диаметра CD и хорды AB как точку E.

Теперь докажем, что диаметры CD и AB взаимно перпендикулярны.

Доказательство:

Шаг 1: Треугольник AEO и треугольник BEO подобны.

Это верно, потому что оба треугольника AEO и BEO прямоугольные. Углы AEO и BEO прямые, так как они лежат на диаметре CD, и углы AOE и BOE также прямые, так как они лежат на диаметре AB.

Шаг 2: Отсюда, соотношение сторон треугольников равно AE/BE = AO/BO = 1.

Шаг 3: Так как AE = BE, то AO = BO.

Шаг 4: Так как AO = BO и OB - общая сторона, то треугольники AOB и BOA равны по стороне-угол-стороне.

Шаг 5: Следовательно, углы AOB и BOA равны.

Шаг 6: Углы AOB и BOA - это два вертикальных угла, и вертикальные углы равны.

Шаг 7: Следовательно, диаметры CD и AB взаимно перпендикулярны.

Таким образом, доказано, что диаметры CD и AB взаимно перпендикулярны.