Question

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB=4 , AC=10.

Answer 1

Проведём ра­ди­ус ОВ

Пусть R — длина ра­ди­у­са окружности.

АО=АС-ОС=АС-R

Т.к OB — радиус, проведённый в точку ка­са­ния, то ОВ перпендикулярно АВ

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник АОВ:

По тео­реме Пифагора: $AO^{2} = AB^{2} + OB^{2}$ или:$AC^{2} -2AC * R + R^{2}$ , отсюда: $R = \frac{AC^{2} - AB^{2}}{2AC}$

R = $R = \frac{100 -16}{2*10}$

R = 4.2

Диаметр равен 2R

Диаметр = 8.4

==========================

Ответ: 8.4

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством касательных окружностей.

1. Проведем радиусы окружности из центра (пусть его обозначим как O) к точкам касания на сторонах треугольника. Обозначим точку касания на стороне AC как D и на стороне AB как E.

2. Из свойства касательных, радиус окружности (OA, OB) перпендикулярен к соответствующим сторонам, и у него есть точка касания (D, E). Это означает, что треугольник AOD и треугольник BOE - прямоугольные треугольники.

3. Также заметим, что AD и BE являются высотами треугольников ABC и AOC соответственно. Таким образом, мы можем использовать свойство подобных треугольников, чтобы найти отношение сторон.

4. Пусть AE = x, тогда BE = 4 - x (так как AB = 4). Также пусть CD = y, тогда AD = 10 - y (так как AC = 10).

5. Из подобия треугольников AOD и BOE:

   AD / BO = OA / OB (10 - y) / x = OA / OB ... (1)

6. Также из подобия треугольников AOC и BOE:

   AC / BC = OA / OB 10 / 4 = OA / OB OA = 2.5 * OB ... (2)

7. Теперь заметим, что OA + OB - это диаметр окружности, поскольку OB и OA - это два радиуса, и сумма этих двух радиусов даст нам диаметр.

8. Подставим выражение (2) в выражение для диаметра:

   Диаметр = OA + OB = 2.5 * OB + OB = 3.5 * OB

9. Теперь нам нужно найти OB. Для этого рассмотрим треугольник ABC:

   Используем теорему Пифагора для треугольника ABC: AB^2 + BC^2 = AC^2 4^2 + BC^2 = 10^2 16 + BC^2 = 100 BC^2 = 100 - 16 BC^2 = 84 BC = √84 = 2√21

10. Теперь зная BC, можем найти OB, используя выражение (2.5 * OB = BC):

    2.5 * OB = 2√21 OB = (2√21) / 2.5 OB ≈ 1.7889

11. Наконец, вычисляем диаметр окружности:

    Диаметр = 3.5 * OB ≈ 3.5 * 1.7889 ≈ 6.2666

Таким образом, диаметр окружности составляет примерно 6.2666 (округлено до четырех знаков после запятой).