Question

Помогите ребята! 20 баллов! В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузу AB=23 опустили высоту CD, которая разделила треугольник на два меньших треугольника, в каждый из которых вписали окружность. Прямая, проходящая через центры этих окружностей, пересекает катеты AC и BC в точках M и N соответственно. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника CMN равна 18.

Answer 1

Ответ: 69

Объяснение:

Если внимательно посмотреть на чертеж, то сразу видно, что CP + CK = CD; так как CP = KO1 = r = LD; CK = CL;

Обозначая CK = y; CP = x; CD = h (высота ABC), я получаю для точки O1

x + y = h;

Аналогично можно показать то же самое для центра второй окружности O2;

То есть если считать катеты осями прямоугольной системы координат, то уравнение прямой O1O2 так и будет x + y = h;

(прямая с таким уравнением проходит через эти две точки, а через две точки можно провести только одну прямую)

Это прямая, пересекающая оси под углом в 45 градусов, в точках (0, h) и (h, 0).

Отсюда следует, что треугольник CMN - равнобедренный, с катетами CM = CN = CD = h и площадью h^2/2;

Подставляя значения из условия, легко найти

h^2 = 18*2 = 36; h = 6;

Sabc = 23*6/2 = 69;

Answer 2

Давайте разберемся пошагово.

1. Площадь треугольника CMN равна 18: S(CMN) = 18

2. По условию, в треугольник CMN вписаны окружности. Таким образом, центры этих окружностей лежат на биссектрисе угла C.

3. Поскольку треугольник ABC прямоугольный, угол C является прямым углом. Значит, биссектриса угла C является медианой треугольника ABC.

4. Отрезок CD является высотой треугольника ABC, опущенной на гипотенузу AB. Так как треугольник ABC прямоугольный, площадь треугольника ABC равна половине произведения длин катетов AC и BC:

   S(ABC) = (1/2) * AC * BC

5. Так как отрезок CD является высотой треугольника ABC, площадь треугольника ABC также можно выразить через этот отрезок и гипотенузу AB:

   S(ABC) = (1/2) * CD * AB

6. Отношение площадей треугольников ABC и CMN равно отношению площадей их гипотенуз и высот:

   S(ABC) / S(CMN) = (AB * CD) / (CD * AB) = 1

   S(ABC) = S(CMN) = 18

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 18.