Question

Найдите углы, медианы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки A ( 3; 7; -4), B ( 5; -3; 2), C ( 1; 3; -10)

Answer 1

Даны вершины треугольника A( 3; 7; -4), B( 5; -3; 2), C( 1; 3; -10).      

1) Определяем векторы: АВ(2; -10; 6), ВС(-4; 6; -12) и АС(-2; -4; -6).      

cos B = |-8-60-72|/√(4+100+36)*√(16+36+144) = 110/(√140*√196) =            = 110/165,6502 = 0,84515.        

Угол В = 0,5639 радиан = 32,3115 градуса.      

cos А = |-4+40-36|/√(4+100+36)*√(4+16+36) = 0/(√140*√56) = 0.    

Угол А = (π/2) радиан = 90 градусов.      

cos С = |8-24+72|/√16+36+144)*√(4+16+36) = 56/(√140*√196) =      

= 56/104,766407 = 0,53452.      

Угол С = 1,00685 радиан = 57,6885 градуса.  

2) Находим длины сторон.

Основания А1 3   0    -4

               В1 2    5    -7

               С1 4    2      -1

   

Длины АА1     7  

медиан ВВ1     12,40967365  

        СС1       9,539392014  

   

3) Длины АВ      11,83215957  

   сторон ВС      14  

                АС      7,483314774  

Периметр равен сумме сторон: 33,31547434 .

4) Площадь можно найти двумя способами:

  - по формуле Герона,

  - по модулю векторного произведения.

По Герону:  p     p-a                   p-b                  p-c

16,65773717 2,65773717 9,174422396 4,825577604

Площадь равна √1960  = 44,27188724  кв.ед.

   

Answer 2

Для нахождения углов, медиан, периметра и площади треугольника, сначала нам потребуется вычислить векторы сторон треугольника.

1. Вычисление векторов сторон треугольника: Вектор AB = B - A = (5 - 3, -3 - 7, 2 - (-4)) = (2, -10, 6) Вектор AC = C - A = (1 - 3, 3 - 7, -10 - (-4)) = (-2, -4, -6)

2. Нахождение углов треугольника: Для вычисления углов используем скалярное произведение векторов. Угол между двумя векторами вычисляется по формуле: cos(theta) = (AB · AC) / (||AB|| * ||AC||)

Где AB · AC - скалярное произведение векторов AB и AC ||AB|| и ||AC|| - длины векторов AB и AC соответственно.

cos(theta) = (2 * -2 + -10 * -4 + 6 * -6) / (√(2^2 + (-10)^2 + 6^2) * √((-2)^2 + (-4)^2 + (-6)^2))

Вычислив cos(theta), можно найти угол theta с помощью арккосинуса.

Угол A = theta Угол B = угол между векторами BA и BC Угол C = 180° - угол A - угол B

3. Нахождение медиан треугольника: Медианы треугольника проходят через вершину и середину противоположной стороны. Медиана из вершины A делит сторону BC пополам. Найдем середину стороны BC:

Медиана из вершины A = (B + C) / 2 = ((5, -3, 2) + (1, 3, -10)) / 2 = (6 / 2, 0 / 2, -8 / 2) = (3, 0, -4)

Аналогично можно найти медианы из вершин B и C.

4. Нахождение периметра: Периметр треугольника равен сумме длин его сторон. Периметр = ||AB|| + ||BC|| + ||CA||, где ||AB|| - длина вектора AB, ||BC|| - длина вектора BC, ||CA|| - длина вектора CA.

5. Нахождение площади: Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу половины векторного произведения двух сторон треугольника. Площадь = 0.5 * ||AB × AC||, где AB × AC - векторное произведение векторов AB и AC.

Теперь, когда мы знаем процесс вычисления, давайте приступим к конкретным значениям.