Question

В тупоугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и CE. Продолжения этих высот пересекаются в точке S. На отрезке AB выбрана точка P, а на отрезке CB выбрана точка Q так, что углы AQS и CPS – прямые. Найдите произведение SP* SQ , если известно, что площадь треугольника SDE равна 45, а cos( ABC)=-12/13.​

Answer 1

Ответ:

253,5

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте выполним ряд шагов:

Шаг 1: Найдем площадь треугольника ABC, используя формулу площади треугольника через синус угла между его сторонами: Площадь треугольника ABC = 0.5 * AB * BC * sin(ABC).

Дано, что площадь треугольника SDE равна 45, так что:

Площадь треугольника ABC = Площадь треугольника SDE = 45.

Шаг 2: Найдем стороны треугольника ABC, используя формулу для площади треугольника через его стороны:

Площадь треугольника ABC = sqrt(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC)), где p = полупериметр треугольника ABC = (AB + BC + AC) / 2.

Шаг 3: Найдем значения AB, BC и AC, используя найденную площадь 45 и значение cos(ABC) = -12/13.

Шаг 4: Найдем произведение SP * SQ.

Давайте выполним вычисления:

Шаг 1: Площадь треугольника ABC = 45.

Шаг 2: Пусть AB = a, BC = b и AC = c. Тогда p = (a + b + c) / 2.

Шаг 3: Мы знаем, что площадь треугольника через синус угла равна: Площадь треугольника ABC = 0.5 * AB * BC * sin(ABC).

Также известно значение cos(ABC) = -12/13. Связь между sin(ABC) и cos(ABC): sin^2(ABC) + cos^2(ABC) = 1.

sin^2(ABC) = 1 - cos^2(ABC) = 1 - (-12/13)^2 = 1 - 144/169 = 25/169.

sin(ABC) = sqrt(25/169) = 5/13 (положительное значение, так как sin угла положителен в тупоугольном треугольнике).

Теперь можем найти стороны треугольника ABC: Площадь треугольника ABC = 0.5 * AB * BC * sin(ABC). 45 = 0.5 * a * b * (5/13).

Таким образом, a * b = 45 * (13/5) = 117.

Шаг 4: Теперь нам нужно найти произведение SP * SQ. Поскольку треугольник SDE - это тупоугольный треугольник, то углы ADE и CDE прямые углы.

Рассмотрим треугольник ADS: Так как угол ADE - прямой, то: sin(ADE) = DE / AD.

Теперь рассмотрим треугольник CDS: Так как угол CDE - прямой, то: sin(CDE) = DE / CD.

Обратим внимание, что DE является общей стороной для треугольников ADS и CDS.

Теперь рассмотрим треугольник ABC: sin(ABC) = BC / AC.

Теперь можем выразить BC и AC через a и b: BC = a / (5/13) = (13a) / 5, AC = b / (5/13) = (13b) / 5.

Теперь можем выразить CD и AD через a и b: CD = AC - AC * cos(ABC) = (13b) / 5 + (13b) / 5 * (12/13) = (13b) / 5 + 12b / 5 = (25b) / 5 = 5b, AD = BC - BC * cos(ABC) = (13a) / 5 + (13a) / 5 * (12/13) = (13a) / 5 + 12a / 5 = (25a) / 5 = 5a.

Теперь рассмотрим треугольник SDE: Площадь треугольника SDE = 0.5 * DE * DS, 45 = 0.5 * DE * (CD + AD), 45 = 0.5 * DE * (5b + 5a), 90 = DE * (a + b).

Теперь можем найти DE: DE = 90 / (a + b).

Теперь рассмотрим треугольник ADS: sin(ADE) = DE / AD, sin(ADE) = (90 / (a + b)) / 5a, sin(ADE) = 18 / (a + b).

Теперь рассмотрим треугольник CDS: sin(CDE) = DE / CD, sin(CDE) = (90 / (a + b)) / 5b, sin(CDE) = 18 / (a + b).

Теперь рассмотрим треугольник AQS: sin(AQS) = SQ / AS, sin(AQS) = SQ / (AD + DS), sin(AQS) = SQ / (5a + 18).

Теперь рассмотрим треугольник CPS: sin(CPS) = SP / CS, sin(CPS) = SP / (CD + DS), sin(CPS) = SP / (5b + 18).

Теперь вернемся к выражению a * b = 117 и умножим обе стороны на (a + b): a * b * (a + b) = 117 * (a + b), a^2 * b + a * b^2 = 117 * (a + b).

Теперь можем заменить a * b на 117: 117 * (a + b) = 117 * (a + b), a^2 * b + a * b^2 = 117 * (a + b).

Теперь можем подставить выражение для a * b: 117 * (a + b