Question

В прямоугольный треугольник вписана окружность. Найдите гипотенузу треугольника, если радиус окружности равен 2 см, а периметр треугольника равен 38 см.

Answer 1

Радиус вписанной окружности равен разности между полупериметром треугольника и ее гипотенузой, поэтому 2=(38/2)-с, откуда гипотенуза

с=19-2=17(см)

Answer 2

Пусть стороны треугольника, включая гипотенузу, обозначены как a, b и c, где c - гипотенуза. Также пусть r - радиус вписанной окружности.

Известно, что периметр треугольника равен сумме длин его сторон: a + b + c = 38 см. ---(1)

Также известно, что радиус вписанной окружности связан с площадью треугольника следующим образом: r = S / p, где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника (p = (a + b + c) / 2).

Площадь треугольника можно выразить через его стороны с помощью формулы Герона: S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Подставим выражение для площади в формулу для радиуса окружности: r = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) / p.

Так как вписанная окружность имеет радиус 2 см, то r = 2.

Подставим это значение в уравнение: 2 = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) / p.

Умножим обе части уравнения на p: 2p = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Возведем обе части уравнения в квадрат: 4p^2 = p * (p - a) * (p - b) * (p - c).

Раскроем скобки: 4p^2 = p^4 - (a + b + c)p^3 + (ab + bc + ac)p^2 - abc * p.

Теперь подставим значение периметра треугольника и заменим a + b + c на 38: 4p^2 = p^4 - 38p^3 + (ab + bc + ac)p^2 - abc * p.

Заметим, что ab + bc + ac = p^2 - c^2, поскольку a^2 + b^2 = c^2 (теорема Пифагора) и ab = p^2 - c^2.

Подставим это в уравнение: 4p^2 = p^4 - 38p^3 + (p^2 - c^2)p^2 - abc * p.

Сократим на p: 4p = p^3 - 38p^2 + (p^2 - c^2)p - abc.

Подставим равенство p = (a + b + c) / 2 и заменим abc на S, где S - площадь треугольника: 4p = p^3 - 38p^2 + (p^2 - c^2)p - S.

Упростим уравнение: 4p = p^3 - 38p^2 + p^3 - c^2p - S.

Соберем все слагаемые с p вместе: 8p = 2p^3 - 38p^2 - c^2p - S.

Выразим S через p: S = 2p^3 - 38p^2 - c^2p - 8p. ---(2)

Из уравнения (1) имеем: a + b + c = 38.

Так как треугольник прямоугольный, то a^2 + b^2 = c^2.

Возведем обе части этого равенства в квадрат: (a^2 + b^2)^2 = c^4.

Раскроем скобки: a^4 + 2a^2b^2 + b^4 = c^4.

Используя равенство a + b + c = 38, заменим a^2 + b^2 в уравнении выше на c^2: c^2 + 2c^2 - c^4 = c^4.

Упростим уравнение: 3c^4 - 3c^2 = 0.

Факторизуем: 3c^2(c^2 - 1) = 0.

Так как c^2 - 1 не может быть равным нулю (поскольку c - гипотенуза и должна быть положительной), имеем: 3c^2 = 0.

Отсюда следует, что c = 0, но это невозможно для гипотенузы треугольника.

Таким образом, нет решений, удовлетворяющих условию.