Question

Менша діагональ прямокутної трапеції ділить її тупий кут навпіл, а іншу діагональ ділить у відношенні 5:2, рахуючи від вершини гострого кута.Знайдіть периметр трапеції, якщо її менша бічна сторона дорівнює 12 см.​

Answer 1

Відповідь: 48

Пояснення: фото

Answer 2

Позначимо сторони трапеції таким чином:

• Менша бічна сторона (паралельна основам) - a = 12 см.
• Більша бічна сторона - b (також паралельна основам).
• Діагоналі трапеції - c та d.

За умовою задачі, менша діагональ ділить тупий кут навпіл, тому це означає, що трикутник, утворений малою діагоналлю та однією зі сторін трапеції, є прямокутним.

Також відомо, що інша діагональ ділиться у відношенні 5:2, рахуючи від вершини гострого кута. Це означає, що сторона трапеції, що лежить між вершиною гострого кута та перетином іншої діагоналі, має довжину 5x, а сторона, що лежить між вершиною тупого кута та перетином іншої діагоналі, має довжину 2x, де x - певна константа.

Тепер ми можемо розглянути правильний прямокутний трикутник, у якого одна сторона дорівнює 5x, а інша - 2x. Використовуючи теорему Піфагора, знаходимо:

(5x)² + (2x)² = c², 25x² + 4x² = c², 29x² = c².

Таким чином, довжина діагоналі c дорівнює c = √(29x²) = √(29) * x.

Тепер знаходимо периметр трапеції:

Периметр = a + b + c + d.

Ми знаємо, що менша бічна сторона дорівнює a = 12 см. Також згадаємо, що діагональ c ділиться у відношенні 5:2, тому велика бічна сторона b дорівнює 5x + 2x = 7x.

Залишилося знайти значення x. Щоб це зробити, можемо скористатися іншою властивістю трапеції: середня лінія трапеції рівна півсумі основ. Оскільки менша діагональ ділить трапецію навпіл, то x дорівнює половині меншої бічної сторони:

x = a/2 = 12/2 = 6.

Тепер знаходимо велику бічну сторону:

b = 7x = 7 * 6 = 42 см.

Тепер можемо обчислити діагоналі:

c = √(29) * x = √(29) * 6 ≈ 13.52 см, d = √(a² + b²) = √(12² + 42²) ≈ 43.27 см.

Знаючи довжини діагоналей та бічних сторін, знаходимо периметр трапеції:

Периметр = a + b + c + d = 12 + 42 + 13.52 + 43.27 ≈ 110.79 см.

Отже, периметр трапеції дорівнює близько 110.79 см.