Question

Прямая l касается окружности w (O, R) в точке A. Из точек B и C прямой l, лежащих по разные стороны от A, восстановлены перпендикуляры до пересечения их с окружностью в точках M и N соответственно. Из точки A опущен перпендикуляр к прямой MN, пересекающий отрезок MN в точке K. Найти длину отрезка AK, если длина отрезка BM = 4, а длина отрезка CN = 9.

Answer 1

Ответ:

6 .................................

Объяснение:

Answer 2

Для решения данной задачи построим несколько вспомогательных отрезков и воспользуемся свойствами окружности и прямых.

Пусть P и Q - точки пересечения отрезков BM и CN с прямой l соответственно. Таким образом, AM и AN являются диаметрами окружности w.

Так как BM и CN - перпендикуляры к прямой l, то треугольники BMP и CNQ прямоугольные. Из свойств прямоугольных треугольников, получаем:

MP = BM = 4 NQ = CN = 9

Также, из свойств окружности, получаем, что угол BAP - прямой угол, так как AB является радиусом окружности w, проведенным к точке касания прямой l и окружности w (точка A). Аналогично, угол CAQ - тоже прямой.

Теперь обратим внимание на треугольники ABK и ACN. Они имеют общий угол при точке A, и уголы BAK и CAN прямые. Таким образом, данные треугольники подобны (по признаку Угол-Прямоугольник-Угол), и соответствующие стороны пропорциональны.

Пусть AK = x. Тогда:

AK/BK = AN/CN

x/(x+4) = R/(R+9)

Теперь найдем значение радиуса R. Из прямоугольного треугольника AMP:

AP^2 = AM^2 - MP^2 AP^2 = R^2 - 4^2

Из прямоугольного треугольника ANQ:

AQ^2 = AN^2 - NQ^2 AQ^2 = R^2 - 9^2

Также, заметим, что AQ = AP + x, так как это разность радиусов окружности w.

AQ = AP + x (R^2 - 9^2) = (R^2 - 4^2) + x

Теперь решим уравнение относительно x:

R^2 - 81 = R^2 - 16 + x x = 81 - 16 x = 65

Теперь, зная значение x, можем найти AK:

AK = x = 65

Таким образом, длина отрезка AK равна 65.