Question

Точки А, В, С и Д не лежат в одной плоскости.ю, точки K, L, M, N - середины отрезков AD, BC, AC I DB соответственно. Докажите, что KN = ML​

Answer 1

Ответ:

КN - средняя линия в треугольнике  АВD и значит равна АВ/2

Также  МL - средняя линия в треугольнике АВС и равна АВ/2.

Значит МL=КN

Чтобы стало понятнее добавил рисунок. На нем  4 точки не лежащие в одной плоскости и образованные ими два треугольника с одной общей стороной.

Answer 2

Для доказательства того, что KN = ML, мы воспользуемся свойством серединных перпендикуляров.

По условию, точки K, L, M и N - середины отрезков AD, BC, AC и DB соответственно. Пусть O будет центром плоскости, в которой лежат точки A, B, C и D. Тогда отрезок KM - это серединный перпендикуляр к отрезку AC, а отрезок LN - это серединный перпендикуляр к отрезку BD.

Так как точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости, то отрезки AC и BD пересекаются в точке O.

Теперь рассмотрим треугольники KON и MON. Они оба имеют общую сторону ON (так как N - середина отрезка BD, а O - центр плоскости, в которой лежат точки A, B, C и D). Также у них равны углы KON и MON (по свойству серединных перпендикуляров). Из этих фактов следует, что треугольники KON и MON подобны.

Аналогично рассмотрим треугольники LOM и NOM. Они имеют общую сторону OM (так как M - середина отрезка AC, а O - центр плоскости, в которой лежат точки A, B, C и D). Также у них равны углы LOM и NOM (по свойству серединных перпендикуляров). Из этих фактов следует, что треугольники LOM и NOM подобны.

Таким образом, у нас есть два подобных треугольника KON и MON, а также LOM и NOM. Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны.

Поскольку N - середина отрезка BD, а M - середина отрезка AC, то KN и ML также являются соответствующими сторонами подобных треугольников. Поэтому KN/ML = ON/OM.

Теперь рассмотрим треугольник OMN. В нем ON - медиана, а ML - медиана, проходящая через вершину. В треугольнике, у которого медианы пересекаются в одной точке (точке O), медианы делят друг друга пополам. Это свойство медиан треугольника. Поэтому ON = 2*OM.

Таким образом, мы имеем KN/ML = ON/OM = 2*OM/OM = 2.

Это означает, что KN вдвое больше, чем ML. Но также мы знаем, что KN и ML - это отрезки, которые соответствуют одной стороне в подобных треугольниках KON и MON, а также LOM и NOM. Следовательно, KN и ML должны быть равными.

Таким образом, мы доказали, что KN = ML.