Question

Найдите стороны треугольника ABC, если угол А=45гр., угол С=30гр., а высота AD=3м. Можете именно ОБЪЯСНИТЬ как решать?

Answer 1

Из прямоугольного треугольника ADC c острым углом в 30°
Катет против угла в 30° равен половине гипотенузы
Значит гипотенуза АС=6
По теореме синусов:
$\frac{AC}{sin\angle B} = \frac{BC}{sin\angle A} \\ \\ \frac{6}{sin\angle (180^o-30^o-45^0)} = \frac{BC}{sin\angle 45^o} \\ \\ BC= \frac{6\cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} }{sin75^0} = \frac{6\cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} }{sin(45^0+30^o)} = \frac{6\cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} }{sin45^0cos 30^o+cos45^osin30^o} = \\ \\ =\frac{6\cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} }{ \frac{ \sqrt{2} }{2}\cdot ( \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2}) } = \frac{12}{1+ \sqrt{3} } =6( \sqrt{3}-1)$

$\frac{AB}{sin\angle C} = \frac{BC}{sin\angle A} \\ \\ \frac{AB}{sin\angle 30^o} = \frac{6( \sqrt{3}-1) }{sin\angle 45^o} \\ \\ AB= \frac{6( \sqrt{3}-1) }{ \sqrt{2} }=3 (\sqrt{6}- \sqrt{2})$