Question

Дано трикутник ABC. Обчисліть косинус кута B, якщо A[0;1;-1] В[1;-1;2] С[3;1;0]

Answer 1

Есть 2 метода решения.

1) По формуле Герона.

Находим длины сторон треугольника.

AB = √((xB-xA)²+(yB-yA)²+(zB-zA)²)   = 1 4 9 14 3,741657387 c

BC = √((xC-xB)²+(yC-yB)²+(zC-zB)²)   = 4 4 4 12 3,464101615 a

AC = √((xC-xA)²+(yC-yA)²+(zC-zA)²)   = 9 0 1 10 3,16227766 b

Периметр АВС  Р =  10,36803666 p - a p - b p - c

Полупериметр р=  5,184018331 1,719916716 2,021740671 1,442360944

 S = √26 =  5,099019514.

Далее по теореме косинусов находим:  

cos A = 0,507092553 cos B = 0,6172134 cos C = 0,365148372

A = 1,03898823 В = 0,905600272 С = 1,197004152      радианы

59,52964053  51,8870735  68,58328597    градусы

.

2) По векторам.

ВА = (-1; 2; -3), модуль √14

ВС = (2; 2; -2), модуль √12.

ВАхВС =    -2 + 4 + 6 = 8.

cos B = 8/(√14*√12) = 0,617213.

Answer 2

Для обчислення косинуса кута B у трикутнику ABC, спочатку необхідно знайти вектори AB та BC, а потім використовувати формулу для обчислення косинуса кута між двома векторами.

1. Знаходження вектора AB: AB = B - A

Для точок A[0;1;-1] і B[1;-1;2]:

AB = [1 - 0; -1 - 1; 2 - (-1)] = [1; -2; 3]

2. Знаходження вектора BC: BC = C - B

Для точок B[1;-1;2] і C[3;1;0]:

BC = [3 - 1; 1 - (-1); 0 - 2] = [2; 2; -2]

3. Обчислення добутку скалярного AB і BC: AB * BC = (AB_x * BC_x) + (AB_y * BC_y) + (AB_z * BC_z)

AB * BC = (1 * 2) + (-2 * 2) + (3 * -2) = 2 - 4 - 6 = -8

4. Обчислення довжин векторів AB та BC: |AB| = √(AB_x^2 + AB_y^2 + AB_z^2) = √(1^2 + (-2)^2 + 3^2) = √(1 + 4 + 9) = √14 ≈ 3.74

|BC| = √(BC_x^2 + BC_y^2 + BC_z^2) = √(2^2 + 2^2 + (-2)^2) = √(4 + 4 + 4) = √12 ≈ 3.46

5. Обчислення косинуса кута B: cos(B) = (AB * BC) / (|AB| * |BC|)

cos(B) = (-8) / (3.74 * 3.46) ≈ -8 / 12.9804 ≈ -0.616