Question

Знайдіть об'єм тіла отриманого в результаті обертання рівнобедренного прямокутного трикутника навколо катета який дорівнює 3 см​

Answer 1

Ответ: 9π см².

Объяснение: В результаті отримаєм прямий конус.Висота якого рівна катету АВ даного рівнобедреного прямокутного трикутника, а саме

3 см.Радіус отриманого конуса також рівний катету даного трикутника

3 см.Об"'єм конуса знаходим за формулою:

V=(1/3)×π×R²×H;

Де V - об"єм конуса;

R- радіус основи конуса;

H - висота конуса.

Answer 2

Для знаходження об'єму тіла, отриманого шляхом обертання фігури навколо однієї з її сторін, можна використовувати формулу об'єму обертаної фігури знаходження об'єму тіла обертання:

$V = \pi \int_{a}^{b} y^2 \, dx,$

де $y$ - відстань від обертаючої вісі до точки на кривій, яку ми інтегруємо, $a$ та $b$ - межі інтегрування, що відповідають діапазону значень кривої навколо обертаючої вісі.

У вашому випадку ми маємо рівнобедрений прямокутний трикутник з катетом довжиною 3 см. Якщо ми обернемо його навколо цього катета, то отримаємо конус. Для обчислення об'єму цього конуса використовуємо відому формулу для об'єму конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h,$

де $r$ - радіус основи конуса, $h$ - висота конуса.

У нашому випадку, катет трикутника виступає як радіус основи конуса, тобто $r = 3$ см.

Висота конуса може бути знайдена за допомогою теореми Піфагора, оскільки ми маємо рівнобедрений прямокутний трикутник: $h = \sqrt{c^2 - \frac{c}{2}^2}$, де $c$ - гіпотенуза трикутника.

Виразимо $c$ через катет:

$c = \sqrt{3^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{18}{4}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}.$

Тепер знайдемо висоту:

$h = \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{18}{4} - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}.$

Підставляючи значення $r$ і $h$ у формулу об'єму конуса, маємо:

$V = \frac{1}{3} \pi \left(3\right)^2 \left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{2} \pi \approx 42.41 \, \text{см}^3.$

Отже, об'єм тіла, отриманого в результаті обертання рівнобедренного прямокутного трикутника навколо катета довжиною 3 см, приблизно дорівнює 42.41 см³.