Question

Даны три точки точка A(0:1;-1) B(1:-1:2) С(3:1:0) Найдите косинус угла С треугольника ABC

Answer 1

Эта задача на теорему косинусов, но для того, чтобы начать решать через теорему, нужно знать стороны. А для этого нам даны координаты. Найдем коориданты векторов AB,BC,AC. Для этого вспомним правило: чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора, вычесть координаты начала вектора.

AB(1-0;-1-1; 2+1)=AB(1;-2;3)

BC(3-1;1+1;0-2)=BC(2;2;-2)

AC(3-0;1-1;0+1)=AC(3;0;1)

Теперь найдем длину этих векторов.

$|AB|=\sqrt{1^2+(-2)^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$

$|BC|=\sqrt{2^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}$

$|AC|=\sqrt{3^2+0^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$

Теперь запишем теорему косинусов, используя косинус угла С.

$AB^2=BC^2+AC^2-2AC*BC*cosC$

$14=12+10-2*\sqrt{12}*\sqrt{10}*cosC$

$2\sqrt{120}*cosC=22-14$

$2*2\sqrt{30}*cosC=8$

$cosC=2/\sqrt{30}=\frac{\sqrt{30}}{15}$

Нужно все проверить!