Question

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 8, апофема SM равна 5. Найдите длину отрезка SO, если O – точка пересечения диагоналей основания и объём пирамиды​

Answer 1

Ответ: SO=3; V=64(ед³)

Объяснение: в основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Найдём его площадь по формуле: S=a²=8²=64(ед²)

Так как грань пирамиды - это равнобедренный треугольник, то апофема является медианой и делит сторону основания СД- пополам, поэтому СМ=МД=8/2=4

Найдём боковое ребро SД по теореме Пифагора: SД²=SM²+МД²=5²+4²=25+16=41

SД=√41

Диагональ ВД делит квадрат на 2 равных равнобедренных прямоугольных треугольника, в котором стороны квадрата являются катетами а диагональ гипотенузой. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета в √2 раз поэтому ВД=8√2.

Диагонали квадрата, пересекаясь делятся пополам поэтому ВО=ДО=8√2/2=

=4√2. Высота SO, боковое ребро SД и ОД образуют прямоугольный треугольник в котором SО и ДО - катеты, а SД- гипотенуза. Найдём SO по теореме Пифагора: SO²=SД²-ДО²=(√41)²-(4√2)²=

=41-16×2=41-32=9; SО=√9=3

SO=3

Теперь найдём объем пирамиды зная её высоту и площадь основания по формуле: V=⅓×Sосн×SO=⅓×64×3=64(ед³)

Answer 2

Давайте рассмотрим данную пирамиду SABCD. Мы знаем, что SABCD - правильная четырехугольная пирамида, что означает, что её основание - квадрат. Поэтому можно сказать, что диагонали квадрата равны друг другу и пересекаются в точке O. Также дана длина апофемы SM (половина высоты боковой грани пирамиды).

Обозначим длину стороны квадрата SABCD как "a", длину отрезка SO как "x". Так как пирамида правильная, то диагонали квадрата равны стороне у основания пирамиды:

AB = BC = CD = DA = a

Также, у нас есть апофема SM, которая соединяет вершину S с серединой стороны AB. Это же также равносильно половине диагонали квадрата:

SM = 0.5 * AB = 0.5 * a

Согласно теореме Пифагора в треугольнике SOM:

SO^2 + SM^2 = MO^2

Подставляя известные значения:

x^2 + (0.5 * a)^2 = 5^2

x^2 + 0.25 * a^2 = 25

x^2 = 25 - 0.25 * a^2

x = √(25 - 0.25 * a^2)

Теперь объем пирамиды можно выразить через длину стороны основания и апофему:

Объем = (1/3) * Площадь основания * Высота

Мы знаем, что площадь основания равна стороне квадрата в квадрате (a^2), а высота пирамиды равна апофеме (SM):

V = (1/3) * a^2 * SM

Подставляя известные значения:

V = (1/3) * a^2 * (0.5 * a) = (1/6) * a^3

Так как объем пирамиды также можно выразить через длину отрезка SO и площадь основания, то:

V = (1/3) * Площадь основания * Высота SO

Подставляя значения:

(1/6) * a^3 = (1/3) * a^2 * x

a^3 = 2 * a^2 * x

x = a / 2

Таким образом, длина отрезка SO равна половине длины стороны квадрата:

x = a / 2 = 8 / 2 = 4