Question

На стороне BC паралелограма ABCD отметили точку M. НАйдите площадь паралелограма ABCD, если площадь треугольника AMD 16см2.

Answer 1

Ответ:

Sabcd = 32 cм²

Объяснение:

Площадь треугольника AMD = 16 см² (дано).

Проведем высоту MH треугольника AMD.

Samd = (1/2)·AD·МН = 16 cм².

Высота МН треугольника AMD является и высотой параллелограмма ABCD. =>

Sabcd = AD·MH  = 32 см².

Answer 2

Пусть $S_{ABCD}$ обозначает площадь параллелограмма $ABCD$, а $S_{AMD}$ - площадь треугольника $AMD$. Также обозначим высоту $h$ треугольника $AMD$, опущенную из вершины $A$ на сторону $MD$.

Мы знаем, что площадь треугольника можно выразить как половину произведения его основания и высоты: $S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot h$. Так как $S_{AMD} = 16 \, \text{см}^2$, у нас есть следующее уравнение:

$16 = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot h \quad \Rightarrow \quad AM \cdot h = 32. \quad (1)$

Также, в параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AB = CD$ и $AD = BC$. Так как $AB \parallel CD$, то треугольники $AMD$ и $CMB$ подобны, и мы можем записать следующее отношение:

$\frac{AM}{MC} = \frac{AD}{BC} \quad \Rightarrow \quad \frac{AM}{MC} = \frac{AD}{AD - MC} \quad \Rightarrow \quad AM \cdot (AD - MC) = AD \cdot MC.$

Заметим, что $AD = BC$, поэтому $AD - MC = BC - MC = BM$. Подставляя это обратно в уравнение, получим:

$AM \cdot BM = AD \cdot MC. \quad (2)$

Используя уравнения (1) и (2), мы можем выразить $BM$ и $MC$:

$BM = \frac{AD \cdot MC}{AM}, \quad MC = \frac{AM \cdot BM}{AD}.$

Площадь параллелограмма $ABCD$ можно выразить через стороны и высоту, проведенную к стороне $AB$:

$S_{ABCD} = AB \cdot h.$

Так как $AB = BM + MC$, мы можем подставить значения $BM$ и $MC$ в это выражение:

$S_{ABCD} = (BM + MC) \cdot h = \left(\frac{AD \cdot MC}{AM} + \frac{AM \cdot BM}{AD}\right) \cdot h.$

Подставляя значения $AM \cdot MC$ из уравнения (2), получим:

$S_{ABCD} = \left(\frac{AD \cdot MC}{AM} + \frac{AD \cdot MC}{AD}\right) \cdot h = \left(\frac{AD \cdot MC + AD \cdot MC}{AM}\right) \cdot h = \frac{2 \cdot AD \cdot MC}{AM} \cdot h.$

Используя уравнение (1), мы можем выразить $\frac{2 \cdot AD \cdot MC}{AM}$:

$\frac{2 \cdot AD \cdot MC}{AM} = \frac{2 \cdot AD \cdot MC}{32} = \frac{AD \cdot MC}{16}.$