Question

Решите пожалуйста,дам 20 баллов доказать что если в трапецию можно вписать окружность ,то угол образуемый биссиктрисами углов , прилежащих к боковой стороне, прямой​

Answer 1

Ответ:

Так основания трапеции параллельны, а углы прилежащих к боковой стороне односторонние углы, то по теореме сумма односторонних углов при параллельны прямых 180 градусов, биссектриса каждого угла делит угол пополам, то есть пусть углы при боковой стороне α и β, тогда α + β = 180 и $\frac{\alpha }{2} +\frac{\beta }{2} =90$.Пусть биссектрисы пересекаются в точке K, тогда угол K = 180 - ($\frac{\alpha }{2} +\frac{\beta }{2}$)= 180 - 90 = 90, по теореме про сумму углов треугольника.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим трапецию ABCD, в которой можно вписать окружность. Давайте обозначим следующие элементы:

• AB и CD - параллельные основания трапеции.
• AD и BC - боковые стороны трапеции.
• O - центр вписанной окружности.
• P, Q, R, и S - точки касания окружности с сторонами AD, AB, BC и CD соответственно.

Поскольку окружность вписана в трапецию, то радиус окружности O равен расстоянию от O до всех сторон трапеции. Таким образом:

OA = OP (так как O лежит на AD) OB = OQ (так как O лежит на AB) OC = OR (так как O лежит на BC) OD = OS (так как O лежит на CD)

Теперь рассмотрим биссектрисы углов A и C. Поскольку биссектриса угла делит его на два равных угла, то угол BAO равен углу CAO, и угол DCO равен углу BCO.

Теперь давайте рассмотрим треугольники AOB и COD:

• Треугольник AOB: У него два равных угла - угол BAO и угол OAB. Таким образом, угол OAB = углу BAO.
• Треугольник COD: У него два равных угла - угол DCO и угол OCD. Таким образом, угол OCD = углу DCO.

Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то угол OAB + угол BAO + угол DCO + угол OCD = 180 градусов.

Теперь мы знаем, что угол OAB = углу BAO и угол OCD = углу DCO, поэтому у нас есть:

Угол OAB + угол BAO + угол DCO + угол OCD = 180 градусов

Угол OAB + угол OBA + угол OCD + угол ODC = 180 градусов

(Угол OAB + угол OBA) + (угол OCD + угол ODC) = 180 градусов

2 * угол OAB + 2 * угол OCD = 180 градусов

2 * (угол OAB + угол OCD) = 180 градусов

угол OAB + угол OCD = 90 градусов

Таким образом, угол, образуемый биссектрисами углов A и C (прилежащими к боковой стороне AD), равен 90 градусов.