Question

Діагоналі AC i BD трапеції ABCD перетинаються в точці О, причому АО:00 = 3:1. Знайдіть основи трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 24.​

Answer 1

Ответ:

12 и 36

Объяснение:

∠OAD = ∠OCB как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей АС,

∠AOD = ∠СОВ как вертикальные, значит

ΔAOD ~ ΔBOC по двум углам.

$\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{AO}{OC}$            (1)

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

$\dfrac{AD+BC}{2}=24$

AD + BC = 48

AD = 48 - BC

Подставим в (1):

$\dfrac{48-BC}{BC}=\dfrac{3}{1}$

48 - BC = 3BC

4BC = 48

BC = 12

AD = 48 - 12 = 36

Answer 2

Давайте позначимо довжини основ трапеції ABCD як a і b, де a - довша основа, а b - коротша основа. Також, згідно з умовою, ми знаємо, що відношення довжини відрізка AO до OD дорівнює 3:1.

Ми можемо використовувати подібність трикутників AOB і COD, так як вони мають спільний кут при точці O і два паралельних бокових відрізки AD і BC. Таким чином, ми можемо записати наступне відношення:

AO / CO = BO / DO

За умовою маємо:

AO / OD = 3 / 1

Також, ми знаємо, що сума довжин середньої лінії трапеції і відрізка, що йде від A до B, дорівнює a, і сума довжин середньої лінії і відрізка, що йде від C до D, дорівнює b. Тобто:

AB + 24 = a CD + 24 = b

Тепер ми можемо виразити AO, CO, BO і DO з вищенаведеного відношення і підставити їх у рівняння для основ трапеції:

AO = 3x CO = x BO = 3y DO = y

З виразів вище відомо, що AO + BO = AB і CO + DO = CD. Підставимо ці вирази в рівняння для a і b:

3x + 3y + 24 = a x + y + 24 = b

Тепер ми можемо розв'язати цю систему рівнянь. Спочатку виразимо a і b з обох рівнянь:

a = 3x + 3y + 24 b = x + y + 24

Тепер ми можемо використовувати ці рівняння для обчислення a і b. Підставимо вираз для a в рівняння для AB:

AB = a - 24 = (3x + 3y + 24) - 24 = 3x + 3y

Підставимо вираз для b в рівняння для CD:

CD = b - 24 = (x + y + 24) - 24 = x + y

Отже, довжини основ трапеції ABCD дорівнюють 3x + 3y і x + y.