Question

Основою піраміди є трикутник зі сторонами 15 см, 16 см, 17 см, а всі двогранні кути при ребрах основи дорівнюють 60º. Знайти об’єм піраміди.

Answer 1

Ответ:

Об'єм такої піраміди дорівнює 291 см3

Объяснение:

V=1/3Sh

S=110cm2

h=7.94 cm

Проєкція вершини піраміди знаходиться на перетині (пересечении) бісекстріс

Отсюда знаходимо h

Answer 2

Для знаходження об'єму піраміди, спочатку знайдемо площу основи, а потім використовуємо формулу об'єму піраміди.

1. Знаходження площі основи:

Ваша основа - трикутник зі сторонами 15 см, 16 см, 17 см. Для знаходження площі використаємо половину продукту об'ями сторін і синус кута між ними:

Позначимо сторони трикутника як a = 15 см, b = 16 см, c = 17 см, а кут між a і b буде C = 60 градусів.

Півпериметр трикутника:

$s = \frac{{a + b + c}}{2}$

$s = \frac{{15 + 16 + 17}}{2} = 24$

Площа трикутника за формулою Герона:

$S_{\triangle} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$S_{\triangle} = \sqrt{24 \cdot (24-15) \cdot (24-16) \cdot (24-17)}$

$S_{\triangle} \approx 107.2 \, \text{см}^2$

2. Знаходження об'єму піраміди:

Формула об'єму піраміди:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle} \cdot h$

де $h$ - висота піраміди.

Оскільки усі двогранні кути при ребрах основи дорівнюють 60 градусів, тоді ми маємо рівнобедрений трикутник, в якому одна зі сторін дорівнює висоті піраміди. Висота $h$ буде стороною, протилежною куту C.

Використаємо тригонометричні функції для знаходження висоти:

$\sin C = \frac{h}{b}$

$h = b \cdot \sin C = 16 \cdot \sin 60^\circ \approx 13.9 \, \text{см}$

Тепер, підставивши значення площі основи та висоти в формулу об'єму, отримаємо:

$V = \frac{1}{3} \cdot 107.2 \cdot 13.9 \approx 1581.2 \, \text{см}^3$

Отже, об'єм даної піраміди приблизно 1581.2 кубічних сантиметрів.