Question

З точки В, яка розміщена від площини на відстані 1 м, проведено дві похилі, які утворюють з площиною кути 45’ , а між собою - кут 60’. Знайти квадрат відстані між основами похилих.

Answer 1

Ответ:

Дано:

ВО=1 м;

Угол ВАО=45°;

Угол ВСО=45°;

Угол АВС=60°.

Найти: АС².

Найти: АС².Решение:

Назовем наклонные ВА и ВС. Проведем перпендикуляр ВО из точки В к плоскости.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей на этой плоскости. Следовательно: угол ВОА=90° и угол ВОС=90°. Тогда ∆ВОА и ∆ВОС – прямоугольные.

ВО – общая сторона

Угол ВАО=угол ВСО

Тогда ∆ВОА=∆ВОС как прямоугольные треугольники с равными катетом и острым углом.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, следовательно:

Угол АВО=90°–угол ВАО=90°–45°=45°.

Получим: угол АВО=угол ВАО, значит треугольник ВОА – равнобедренный с основанием ВА.

Исходя из этого: АО=ВО.

ВО=1 м из условия. Значит: АО= 1 м

По теореме Пифагора в ∆ВОА:

ВА²=ВО²+АО²

ВА²=1²+1²

ВА²=2

Совокупность:

ВА=√2

ВА=–√2

Так как длина всегда положительное число, то ВА=√2 м.

Тогда ВС=ВА=√2 м так же, как соответственные стороны равных треугольников.

По теореме косинусов в ∆АВС:

АС²=АВ²+ВС²–2*АВ*ВС*cos(ABC)

AC²=(√2)²+(√2)²–2*√2*√2*cos(60)

AC²=2+2–4*0,5

АС²=4–2

АС²=2

Основания наклонных точки А и С, следовательно АС – расстояние между основаниями наклонных. Так как мы ищем квадрат расстояния, то искомая величина равна АС².

Ответ: 2.

Answer 2

Давайте розв'яжемо цю задачу за допомогою геометричних розглядів. Ми маємо таку ситуацію:

1. Є площина (ABCD), із якої від точки B проведено дві похилі (BE і BF).
2. Кожна з цих похилих утворює кут 45 градусів і 60 градусів з площиною ABCD.

Спочатку знайдемо довжину похилого BE.

За тригонометричними властивостями синуса в прямокутному трикутнику BEC (де EC - це відстань від B до площини ABCD, тобто 1 м):

sin(45°) = BE / EC

BE = EC * sin(45°) BE = 1 м * √2 / 2 BE = √2 / 2 м

Тепер знайдемо довжину похилого BF за аналогічним методом:

sin(60°) = BF / EC

BF = EC * sin(60°) BF = 1 м * √3 / 2 BF = √3 / 2 м

Тепер ми знаємо довжини BE і BF. Щоб знайти квадрат відстані між їхніми основами (іншими словами, квадрат відстані між точками E і F), ми використовуємо теорему Піфагора:

Відстань між основами^2 = BE^2 + BF^2

Відстань між основами^2 = (√2 / 2 м)^2 + (√3 / 2 м)^2

Відстань між основами^2 = (2 / 4) м^2 + (3 / 4) м^2

Відстань між основами^2 = (5 / 4) м^2

Отже, квадрат відстані між основами похилих дорівнює 5/4 квадратних метра.