Question

Основания трапеции равны 7см и 15см, а углы при большем основании - 30* и 60*. Найдите высоту и диагонали трапеции. Можно ответ с пояснениями.

Answer 1

Ответ:

1) пусть x - это катет в левой части трапеции с острым углом 30°

пусть y  - это катет в правой части трапеции с острым углом 60°

на них приходится 15 - 7 = 8см, следовательно, x + y = 8

выясним, как связаны x и y

tg60 = h / y => y = h / tg60 = h / √3

tg30 = h / x => x = h / tg30 = 3h / √3

заметим, что x > y в 3 раза

пусть x = 3a, y = a

тогда 3a + a = 8,

a = 2

следовательно, x = 6, y = 2

теперь через тот же тангенс найдем высоту трапеции:

tg60 = h / y => h = tg60 y = 2√3.

2) по теореме Пифагора найдем диагонали трапеции

d1 = sqrt(9² + (2√3)²) = √93

d2 = sqrt(13² + (2√3)²) = √181

Answer 2

Для нахождения высоты и диагоналей трапеции, у нас есть несколько методов. В данном случае, мы можем воспользоваться знанием тригонометрии, так как у нас есть углы 30° и 60°.

Для начала, обозначим основания трапеции: меньшее основание (меньшая сторона) равно 7 см, а большее основание (большая сторона) равно 15 см.

1. Высота трапеции: Высоту трапеции (h) можно найти, используя тригонометрический метод. Мы знаем, что угол при меньшем основании равен 30°. Так как трапеция разбивает прямоугольный треугольник, образованный этим углом, мы можем использовать тангенс угла 30°:

$\tan(30^\circ) = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{прилежащий катет}}$

Противоположий катет - это высота трапеции (h), а прилежащий катет - половина разницы в длине большего и меньшего оснований:

$\tan(30^\circ) = \frac{h}{\frac{15 - 7}{2}}$

Теперь, найдем высоту, умножив обе стороны на $\frac{15 - 7}{2}$:

$h = \frac{8}{2} \cdot \tan(30^\circ) = 4 \cdot \tan(30^\circ)$

Теперь найдем значение тангенса 30° (значение тангенса 30° равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$) и подставим его:

$h = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$

2. Диагонали трапеции: Чтобы найти диагонали трапеции, мы можем использовать знание о том, что трапеция разбивается на два прямоугольных треугольника. Давайте обозначим диагонали трапеции как $d_1$ и $d_2$.

• $d_1$ - это диагональ, соединяющая вершины с углами 60° и 30°.
• $d_2$ - это диагональ, соединяющая вершины с углами 60° и 30° с противоположными основаниями.

Мы можем использовать синус и косинус угла 30° для нахождения $d_1$ и $d_2$:

$\sin(30^\circ) = \frac{\text{противоположный катет}}{d_1}$ $\cos(30^\circ) = \frac{\text{противоположный катет}}{d_2}$

Заметьте, что противоположий катет в обоих уравнениях - это половина разницы в длине большего и меньшего оснований (так как оба катета противоположны углу 30°):

$\sin(30^\circ) = \frac{\frac{15 - 7}{2}}{d_1}$ $\cos(30^\circ) = \frac{\frac{15 - 7}{2}}{d_2}$

Теперь найдем $d_1$ и $d_2$, деля обе стороны каждого уравнения на соответствующий синус и косинус:

$d_1 = \frac{\frac{15 - 7}{2}}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$

$d_2 = \frac{\frac{15 - 7}{2}}{\cos(30^\circ)} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$

Итак, высота трапеции равна $\frac{4}{\sqrt{3}}$