Question

50б ПОМОГИИИИИИИИИИИИТЕ . Дан единичный куб ABCDA1B1C1D1. Найдите расстояния: е) от точки D до плоскости AB1D1.

Answer 1

Диагонали противоположных граней куба параллельны.

AB1||DC1, D1B1||DB => (AB1D1)||(C1BD)

Достаточно найти расстояние между параллельными плоскостями.

A1AB1D1 и СAB1D1 - правильные пирамиды, вершины A1 и С проецируются в центр основания E.

То есть A1C⊥(AB1D1)

Аналогично A1C⊥(C1BD)

EF - искомое расстояние.

AB1 =√2 (диагональ квадрата)

B1E =√3/3 *AB1 =√6/3 (радиус описанной окружности правильного треугольника)

A1E =√(A1B1^2 -B1E^2) =√(1 -6/9) =√3/3

A1E =CF (высоты в равных пирамидах)

A1C =√3 (диагональ куба)

Таким образом EF =√3/3

Answer 2

Для того чтобы найти расстояние от точки D до плоскости AB1D1, можно использовать формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости. Формула для этого выглядит следующим образом:

$d = \frac{|Ax + By + Cz + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Где (A, B, C) - нормальный вектор плоскости AB1D1, (x, y, z) - координаты точки D, а D - коэффициент смещения плоскости.

Плоскость AB1D1 проходит через точки A, B1, D1. Найдем нормальный вектор этой плоскости:

1. Найдем векторы $\vec{AB1}$ и $\vec{AD1}$:

   • $\vec{AB1} = \vec{B1} - \vec{A}$
   • $\vec{AD1} = \vec{D1} - \vec{A}$

2. Вычислим векторное произведение $\vec{AB1} \times \vec{AD1}$, чтобы получить нормальный вектор к плоскости AB1D1.

3. После получения нормального вектора (A, B, C), мы также должны найти коэффициент смещения D. Это можно сделать, используя координаты точки A и нормального вектора:

   $D = -A \cdot x_A - B \cdot y_A - C \cdot z_A$, где (x_A, y_A, z_A) - координаты точки A.

4. Теперь у нас есть все необходимые данные для использования формулы. Подставьте их в формулу, чтобы найти расстояние $d$ от точки D до плоскости AB1D1.