Question

В трапеции ABCD основания AD и ВС относятся как 3 : 2, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой CD, если АВ = 11.

Answer 1

Если продлить боковые стороны до пересечения, то получится прямоугольный треугольник.

Если есть прямоугольная система координат XOY  (внимание - буквой O обозначено начало кооринат, а не центр окружности! в применении к задаче - это точка пересечения AB и CD) и окружность, касающаяся оси OY и пресекающая ось OX в 2 точках, то её уравнение в самом общем виде (x - R)^2 + (y - a)^2 = R^2; точка (R, a) - центр.

=> x^2 - 2xR + (y-a)^2 = 0; при y = 0; x^2 - 2xR + a^2 = 0;

корни R - √(R^2 - a^2) и R + √(R^2 - a^2); пусть эти точки совпадают с точками A и B в условии, тогда при AB = 11

2√(R^2 - a^2) = 11;

Еще неиспользованное условие - AD/DC = 3/2; из того, что треугольники OBC и OAD подобны (я напоминаю, что буквой O я обозначил начало координат, а не центр окружности), ясно, что OA/OB = 3/2; или

(R + √(R^2 - a^2))/(R - √(R^2 - a^2)) = 3/2;

ну вот, по смыслу задача решилась, и ответ гораздо ближе, чем кажется :) потому что

простая подстановка дает

(R + 11/2)/(R - 11/2) = 3/2; => R = 55/2;

Answer 2

Звучит как задача на геометрию! Давай разбираться. Мы знаем, что у нас трапеция ABCD, где основания AD и BC относятся как 3:2, и углы при AD в сумме дают 90°.

Пусть $AD = 3x$ и $BC = 2x$, где $x$ - коэффициент пропорции.

Сумма углов при основании AD равна 90°, так что у нас есть два угла: $\angle A$ и $\angle D$.

Теперь создадим уравнение, учитывая, что сумма углов в трапеции равна 360°:

$\angle A + \angle D + \angle B + \angle C = 360°$

Углы при основании AD равны 90°:

$\angle A + \angle D = 90°$

Так что у нас есть:

$90° + \angle B + \angle C = 360°$

Теперь, зная, что углы при основании AD в сумме дают 90°, мы можем заменить это в уравнение:

$90° + 90° + \angle B + \angle C = 360°$

$\angle B + \angle C = 180°$

Так как у нас трапеция, углы $\angle B$ и $\angle C$ смежны и дополняют друг друга до 180°, поэтому:

$\angle B = \angle C = 90°$

Теперь мы знаем, что углы при вершинах A и D прямые.

Теперь давай займемся треугольником ABD. Мы знаем, что у нас есть прямой угол $\angle A$ и $AB = 11$.

Теперь введем понятие описанной окружности в прямоугольном треугольнике. В прямоугольном треугольнике описанная окружность имеет радиус, равный половине гипотенузы.

Так что в нашем случае, радиус $r$ описанной окружности будет равен $\frac{11}{2}$.

Таким образом, радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, равен $\frac{11}{2}$.