Question

Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на вiдрiзки, один із яких на 2 см менший, ніж інший. Знайдіть площу трикутника, якщо гіпотенуза та другий катет вiдносяться як 5 : 4.​

Answer 1

Ответ:

216

Объяснение:

Введём обозначения:

AB - катет, который делится на AH и HB;   AH = x, тогда HB = x - 2

BC - другой катет (y)

AC - гипотенуза (z)

AC/BC = 5/4 = z/y$></p> <p></p> <p>Знаем, что биссектриса делит противоположную сторону в таком отношении, в каком делятся две оставшиеся:</p> <p>5/4 = x / (x - 2)</p> <p>5(x - 2) = 4x</p> <p>5x - 10 = 4x</p> <p>x = 10</p> <p>Таким образом, длина отрезка AB = AH + HB = 10 + 10 - 2 = 18</p> <p></p> <p>По теореме пифагора:</p> <p><img src=$

$18^2 + y^2 = z^2$

z/y = 5/4; тогда z = 5y/4 - подставим:

$324 + y^2 = (5y/4)^2\\324 + y^2 = 25y^2/16\\5184 + 16y^2 = 25y^2\\5184 = 9y^2\\y^2 = 5184/9 = 576 \\y = \sqrt(576) = 24$

Sabc = 1/2 * AB * BC = 1/2 * 18 * 24 = 216

Answer 2

Нехай більший відрізок, на який розділений катет бісектрисою, дорівнює x см. Тоді менший відрізок буде (x - 2) см.

За умовою, гіпотенуза (h) та другий катет (b) відносяться як 5 до 4, отже, ми можемо записати наступну систему рівнянь:

1. $h^2 = x^2 + b^2$ (теорема Піфагора для прямокутного трикутника)
2. $\frac{h}{b} = \frac{5}{4}$ (відношення гіпотенузи до другого катета)

Розв'язавши цю систему рівнянь, ми знайдемо значення x та b.

Спочатку виразимо b через x з другого рівняння:

$b = \frac{4}{5}h$

Тепер підставимо це у перше рівняння:

$h^2 = x^2 + \left(\frac{4}{5}h\right)^2$

Розкриємо дужки та спростимо:

$h^2 = x^2 + \frac{16}{25}h^2$ $\frac{9}{25}h^2 = x^2$ $x = \frac{3}{5}h$

Тепер ми знаємо значення x відносно h. Щоб знайти площу прямокутного трикутника (S), скористаємося формулою для площі:

$S = \frac{1}{2} \times \text{гіпотенуза} \times \text{катет}$ $S = \frac{1}{2} \times h \times \left(\frac{3}{5}h\right)$ $S = \frac{3}{10}h^2$

Однак ми ще не знаємо значення h. Знаючи, що $\frac{h}{b} = \frac{5}{4}$, ми можемо виразити h через x:

$\frac{h}{\frac{4}{5}h} = \frac{5}{4}$ $\frac{5}{4} = \frac{5}{4}$ (підтвердження правильності)

Отже, гіпотенуза $h = 5k$ та другий катет $b = 4k$, де k - довільний коефіцієнт.

Повертаючись до x:

$x = \frac{3}{5}h = \frac{3}{5} \times 5k = 3k$

А також менший відрізок $x - 2 = 3k - 2$.

За умовою цей відрізок менший на 2 см ніж більший відрізок:

$3k - 2 = x - 2 = 2k$ $k = 2$

Тепер ми можемо знайти значення h та b:

$h = 5k = 5 \times 2 = 10 \text{ см}$ $b = 4k = 4 \times 2 = 8 \text{ см}$

Отже, площа трикутника (S) дорівнює:

$S = \frac{3}{10}h^2 = \frac{3}{10} \times 10^2 = 30 \text{ см}^2$