Question

Координаты вершин треугольника АВС А(-4;1), В(2;-9), С (8;1). Для треугольника АВС: а) определите тип треугольника АВС; b) если известно, что ВК является медианой, то найдите координаты точки К; с) найдите площадь треугольника АВС.

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника АВС: А(-4; 1), В(2; -9), С (8; 1).

Для определения типа треугольника надо найти углы его или длины сторон.

1) Расчет длин сторон     Квадрат

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √136 ≈  11,6619.

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √136 ≈ 11,6619.

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √144 =  12.

Отсюда видно, что треугольник равнобедренный.

2) Координаты точки К.

К((-4+8)/2; (1+1)/2) = (2; 1).

3) Площадь треугольника ABC      

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 60 кв.ед.

Answer 2

Для решения задачи, давайте начнем с определения координат вершин треугольника АВС:

A (-4, 1) B (2, -9) C (8, 1)

a) Определение типа треугольника:

1. Вычислим длины сторон треугольника:

AB = √((2 - (-4))^2 + (-9 - 1)^2) = √(6^2 + (-10)^2) = √(36 + 100) = √136

BC = √((8 - 2)^2 + (1 - (-9))^2) = √(6^2 + 10^2) = √(36 + 100) = √136

CA = √((-4 - 8)^2 + (1 - 1)^2) = √((-12)^2 + 0^2) = √144 = 12

Теперь, определим тип треугольника:

• Если все стороны равны, то треугольник равносторонний.
• Если две стороны равны, то треугольник равнобедренный.
• Если все стороны разные, то треугольник разносторонний.

В данном случае, AB = BC = √136, CA = 12. Поскольку все стороны разные, треугольник АВС является разносторонним треугольником.

b) Если ВК является медианой, то координаты точки К можно найти, как среднее арифметическое координат вершин B и C:

K(x, y) = ((x_B + x_C) / 2, (y_B + y_C) / 2)

K(x, y) = ((2 + 8) / 2, (-9 + 1) / 2) = (5, -4)

Таким образом, координаты точки К равны (5, -4).

c) Чтобы найти площадь треугольника АВС, можно воспользоваться формулой Герона, так как известны длины всех сторон:

s = (AB + BC + CA) / 2 = (√136 + √136 + 12) / 2 = (2√136 + 12) / 2 = √136 + 6

Теперь используем формулу Герона:

Площадь (S) = √[s(s - AB)(s - BC)(s - CA)]

S = √[ (√136 + 6)(√136 + 6 - √136)(√136 + 6 - √136)(√136 + 6 - 12) ]

S = √[ (√136 + 6)(6)(6)(-6) ]

S = √[ (√136 + 6)(-216) ]

S = -6√136 - 36

Таким образом, площадь треугольника АВС равна -6√136 - 36.