Question

В прямоугольную трапецию АВСD(AB┴ВС,АВ┴АD) вписана окружность с центром в точке О. Через точки А,В,С проведена окружность с центром в точке О1. Найдите диагональ АС, если ОО1=2 см, а меньшее основание ВС=12см. НУЖЕН ЧЕРТЕЖ

Answer 1

AC² =AB² +BC² ;
AC² =(2r)² +BC² ;
===============
OO₁= r -BC/2 .
2 =r - 12/2;
r =8 ;
AC² =(2*8)² +12² =( 4*4)² +(4*3)² =4²(4²+3²) =4²*5² ;
AC =4*5 =20.

Answer 2

Центр О1 описанной окружности треугольника  АВС лежит на пересечении срединного  перпендикуляра катета ВA и гипотенузы АС, т.е. центры обеих окружностей лежат на средней линии трапеции и ОО1=2 см. 
Пусть радиус описанной окружности треугольника АВС  будет R, точка касания вписанной окружности
на ВC-Н,
на АВ-К.
 радиус вписанной в трапецию окружности  r.
 r=KO+OO1
КО- средняя линия треугольника АВС
КО= ВС:2=12:2=6 см
r=6+2=8 см
ВМ=высота и медиана равнобедренного прямоугольника ВО1С
В прямоугольном треугольнике ВМО1 катет
 МО1=НО=r=8 см
катет ВМ=6 см, отношение катетов 3:4,⇒
ВО1=10 как гипотенуза египетского треугольника ( можно проверить т. Пифагора)
АС=2R=2*10=20 см