Question

Дан ромб OABC с углом O, равным 40∘. При инверсии относительно точки O с некоторым радиусом точки A, B и C переходят в точки A′, B′ и C′. Чему равны углы треугольника A′B′C′?

Answer 1

Мне казалось я уже выкладывал решение, но почему-то не могу найти, наверно был особо принципиален в тот момент. Но чертеж сохранился, на нем решение легко просматривается.

На самом деле это всего лишь упражнение на общие свойства инверсии, главное из которых - конформность (то есть сохранение углов). См. чертеж.

Ясно, что прямые OA, OC и OB перейдут в себя, и образы A' B' C' будут лежать на этих прямых (соответственно). При этом прямые AB и BC перейдут в окружности, проходящие через точку O. На чертеже изображены эти окружности OA'B' и OC'B'. При этом углы между касательными к этим окружностям и прямыми-образами (которые совпадают с исходными) сохраняются. То есть если провести касательную в точке B' к окружности OA'B' то угол между ней и прямой OB будет 20° (такой же, как ∠OBA).

=> эта касательная параллельна OA, => дуги OB' и B'A' равны,

=> ∠B'A'O = 20°.

∠OA'C' = ∠OAC = 90° - 20° = 70°

Дальше сосчитать, чему равен  ∠B'A'C', совсем просто.

∠B'A'C' = ∠OA'C' - ∠B'A'O = 50°

Answer 2

При инверсии точек A, B и C относительно точки O с некоторым радиусом, новые положения этих точек (точки A', B' и C') будут находиться на лучах AO, BO и CO, продолженных за точку O. Так как инверсия сохраняет отношение расстояний между точками, то угол A'OC' будет равен углу AOC, то есть 40 градусов.

Поскольку угол A'OC' равен 40 градусам, а сумма углов треугольника равна 180 градусам, то угол A'BC' можно найти следующим образом:

Угол A'BC' = 180° - угол A'OC' - угол A'CB'

Угол A'CB' - это угол между лучами A'B' и BC, и так как ромб OABC является ромбом, то угол ABC равен 90 градусов. Таким образом, угол A'CB' равен 90 градусов.

Теперь мы можем вычислить угол A'BC':

Угол A'BC' = 180° - 40° - 90° = 50°

Итак, угол A'BC' равен 50 градусов.