Question

ДАЮ 60 БАЛЛОВ На прямой расположены 4 точки: А,В,С,D. M - середина АВ, К середина CD. Найти MK, если АС = 5, BD = 7. НАЙТИ УНИВЕРСАЛЬНЫЙ СПОСОБ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЭТОЙ ЗАДАЧИ ( НЕ ПЕРЕБОР)

Answer 1

Будем считать, что у отрезков есть начальная и конечная точки, то есть направление. Теперь у нас направленные отрезки (векторы).

Если точки расположены последовательно A_C, то имеем вектор AC.

Если точки расположены последовательно C_A, то имеем вектор -AC.

AM =1/2 AB =1/2 (AC+CB)

CK =1/2 CD =1/2 (CB+BD)

AK =AC+CK =AM+MK

AC +1/2 CB +1/2 BD = 1/2 AC +1/2 CB +MK => MK =1/2 AC +1/2 BD

1) Точки расположены последовательно A_C, B_D

MK =1/2 (AC+BD) = |5+7|/2 =6

2) Точки расположены последовательно C_A, B_D

MK =1/2 (-AC+BD) = |-5+7|/2 =1

3) Точки расположены последовательно A_C, D_B

MK =1/2 (AC-BD) = |5-7|/2 =1

4) Точки расположены последовательно C_A, D_B

MK =1/2 (-AC-BD) = |-5-7|/2 =6

Answer 2

Для решения этой задачи без перебора можно воспользоваться теоремой о параллельных линиях и пропорциями.

Первым шагом является построение схемы:

cssCopy code
A----M----B
|         |
C----K----D

Теперь, учитывая, что AC = 5 и BD = 7, мы видим, что AM + MK + KB = 5 и CK + KD + DK = 7. Мы хотим найти MK.

Теперь давайте воспользуемся теоремой о параллельных линиях. Мы видим, что AB и CD - это две параллельные линии, и MK - это пересекающая их линия. Тогда по теореме о параллельных линиях:

MK делит AB и CD пропорционально. Таким образом, отношение AM к MB равно отношению CK к KD:

AM/MB = CK/KD

Теперь, чтобы выразить MK, давайте обозначим AM как x и MB как y, а CK как p и KD как q. Тогда у нас есть:

x/y = p/q

Мы знаем, что x + y = 5 и p + q = 7. Теперь давайте выразим x и p через y и q:

x = 5 - y p = 7 - q

Теперь мы можем подставить эти значения в уравнение:

(5 - y)/y = (7 - q)/q

Теперь мы можем решить это уравнение относительно MK. Перекрестно умножим:

5q - yq = 7y - yq

Теперь сгруппируем подобные члены:

5q = 7y

Теперь выразим MK:

MK = AB - AM = 2y

Теперь, чтобы найти MK, давайте выразим y через q:

5q = 7y

y = (5q)/7

Теперь выразим MK:

MK = 2y = 2(5q/7) = (10q/7)

Таким образом, MK равно (10q/7). Вы можете использовать это выражение для MK в зависимости от значения q, которое вам известно.