Question

На продовженнях гіпотенузи AB прямокутного трикутника ABC за точки A, B позначили відповідно D, E так, що АC=AD, BC=BE. Знайти кут ADC.

Answer 1

Ответ:

Нехай ∆АВС - даний, ∟C = 90°, АС = AD, ВС = BE.

Знайдемо ZDCE.

Розглянемо ∆АВС (ZC = 90°). Нехай ∟CAB = х, ∟CBA = 90° - х.

Розглянемо ∆СВЕ - рівнобедрений (СВ = BE), тоді ∟ВСЕ = ∟CEB.

∟CBA = 90° - х - зовнішній кут ∆СВЕ.

∟CBA = ∟BCE + ∟BEC, ∟BCE = ∟BEC = (90° - х) : 2 = 45° - х/2.

Розглянемо ∆DАС - рівнобедрений (DА = АС), тоді ∟ADC = ∟DCA.

∟CAB = х - зовнішній кут ∆DAC.

∟CAB = ∟ADC + ∟ACD, ∟ADC = ∟ACD = х/2.

∟DCE = ∟DCA + ∟ACB + ∟BCE. ∟DCE = х/2 + 90° + 45° - х/2 = 135°.

Biдповідь: ∟DCE = 135°.

Answer 2

Щоб знайти кут ADC, ми можемо скористатись властивостями прямокутних трикутників та використати теорему Піфагора.

Дано, що гіпотенуза AB розташована між точками A і B, і ми позначили точки D і E на продовженні гіпотенузи так, що AC = AD і BC = BE.

Застосування теореми Піфагора

Перш за все, давайте поглянемо на прямокутний трикутник ABC. За теоремою Піфагора, сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. У нашому випадку, це можна записати так:

AC^2 + BC^2 = AB^2

Застосування властивостей прямокутних трикутників

Ми також знаємо, що AC = AD і BC = BE. З цими відомостями, ми можемо записати:

AD^2 + BE^2 = AB^2

Знаходження кута ADC

Тепер, давайте зосередимося на трикутнику ADC. Ми знаємо, що AC = AD, тому цей трикутник є рівнобедреним. У рівнобедреному трикутнику, медіана, проведена до основи, є бісектрисою цього кута. Оскільки AD є медіаною, то кут ADC ділиться ним навпіл, тобто кут ADC = кут ADB / 2.

Знаходження кута ADB

Давайте знову звернемося до трикутника ABC. За теоремою Піфагора, ми знаємо, що:

AC^2 + BC^2 = AB^2

Але ми також знаємо, що AC = AD і BC = BE. Тому, підставляючи ці значення, ми отримуємо:

AD^2 + BE^2 = AB^2

Таким чином, ми бачимо, що квадрати сторін трикутника ADB такі ж, як квадрати сторін трикутника ABC. Це означає, що кути трикутника ADB такі ж, як кути трикутника ABC.

Знаходження кута ADC (продовження)

Отже, ми знаємо, що кут ADB = кут ABC. Згідно зі ствердженням вище, кут ADC = кут ADB / 2. Тому, кут ADC = кут ABC / 2.

Таким чином, щоб знайти кут ADC, нам потрібно знайти кут ABC і поділити його на 2.