Question

Дано ABCD - паралелограм. Якщо A (-2;-4) , B (-3; 1) , C (2;4) , то координати четвертої вершини D:​

Answer 1

Даны вершины параллелограмма A(-2; -4), B(-3; 1), C(2; 4).

Вектор BA равен вектору CD, поэтому координаты точки D равны:

D = C + BA.

Находим вектор BA = (-2-(-3); -4-1) = (1; -5).

Тогда D =  (2+1); 4+(-5)) = (3; -1).

Ответ: точка D(3; -1).

Answer 2

Для того чтобы найти координаты четвертой вершины параллелограмма, мы можем воспользоваться тем фактом, что диагонали параллелограмма делятся пополам.

Диагонали параллелограмма это отрезки, соединяющие противоположные вершины. Они пересекаются в точке, которую мы обозначим буквой "О".

Так как "О" делит каждую диагональ пополам, то координаты точки "О" равняются средним значениям соответствующих координат вершин параллелограмма.

Итак, рассмотрим диагонали параллелограмма "abcd":

Диагональ "db" соединяет вершины "d" и "b". Известны координаты вершины "b" (-3, 1) и вершины "d". Нам нужно найти координаты точки "d".

Координата "x" точки "d" равняется среднему значению соответствующих координат вершин "b" и "d". То есть: x = (x₁ + x₂)/2 = (-3 + x₂)/2, где x₁ = -3 и x₂ - неизвестно.

Аналогично, координата "y" точки "d" равняется среднему значению соответствующих координат вершин "b" и "d". То есть: y = (y₁ + y₂)/2 = (1 + y₂)/2, где y₁ = 1 и y₂ - неизвестно.

Из условия задачи известно, что вершина "a" имеет координаты (-2, -4), а вершина "c" имеет координаты (2, 4).

Так как "О" деляет диагональ "db" пополам, то координаты точки "О" равны средним значениям соответствующих координат вершин "b" и "d", то есть: x₀ = (x₁ + x₃)/2, y₀ = (y₁ + y₃)/2, где x₀ и y₀ - координаты точки "О", x₁ и y₁ - координаты вершины "b", x₃ и y₃ - координаты вершины "d".

В нашем случае, применяя формулы для координат вершин "b" и "d", получим: x₀ = (-3 + x₂)/2, y₀ = (1 + y₂)/2.

Аналогично, точка "О" также делит диагональ "ac" пополам, поэтому: x₀ = (x₂ + 2)/2, y₀ = (y₂ + 4)/2.

Итак, у нас получились два выражения для координат точки "О". Так как "О" - это одна и та же точка, мы можем приравнять эти два выражения и решить полученную систему уравнений относительно неизвестных x₂ и y₂:

(-3 + x₂)/2 = (x₂ + 2)/2, (1 + y₂)/2 = (y₂ + 4)/2.

Решая эту систему, мы найдем значения x₂ и y₂, а затем соответствующие им значения x₀ и y₀.

Найденные значения x₀ и y₀ являются координатами точки "О".

Зная координаты точки "О", мы можем найти координаты вершины "d" параллелограмма, используя найденные значения x₀, y₀, x₂ и y₂:

x₃ = 2 * x₀ - x₂, y₃ = 2 * y₀ - y₂.

Таким образом, получаем координаты четвертой вершины d: (x₃, y₃).