Question

В треугольнике `ABC` со сторонами `AB=BC=4` и `AC=2` проведены высоты `A A_1` и `B B_1`. Точка `M` – середина стороны `AB`. Найдите периметр треугольника `MA_1B_1`.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

В треугольнике `ABC` со сторонами `AB=BC=4` и `AC=2` проведены высоты `A A_1` и `B B_1`. Точка `M` – середина стороны `AB`. Найдите периметр треугольника `MA_1B_1`.

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо найти длины сторон треугольника MA_1B_1. Для этого рассмотрим треугольник ABC и воспользуемся свойствами высот треугольника.

Нахождение длин сторон треугольника MA_1B_1

Из условия задачи мы знаем, что стороны треугольника ABC равны AB = BC = 4 и AC = 2.

Также, точка M является серединой стороны AB, поэтому AM = MB = AB/2 = 4/2 = 2.

Теперь рассмотрим треугольник AMB_1. В этом треугольнике AM является высотой, опущенной из вершины A, а B_1M - стороной треугольника MA_1B_1.

Так как AM является высотой треугольника ABC, то она перпендикулярна стороне BC. Это значит, что угол AMB_1 прямой (90 градусов).

Также, из прямоугольного треугольника AMB_1 мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти длину стороны B_1M:

B_1M^2 = AB^2 - AM^2 B_1M^2 = 4^2 - 2^2 B_1M^2 = 16 - 4 B_1M^2 = 12

Таким образом, получаем, что B_1M = √12 = 2√3.

Теперь рассмотрим треугольник A_1MB. В этом треугольнике A_1M является высотой, опущенной из вершины B, а A_1B - стороной треугольника MA_1B_1.

Аналогично, из прямоугольного треугольника A_1MB мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти длину стороны A_1B:

A_1B^2 = AB^2 - A_1M^2 A_1B^2 = 4^2 - 2^2 A_1B^2 = 16 - 4 A_1B^2 = 12

Таким образом, получаем, что A_1B = √12 = 2√3.

Нахождение периметра треугольника MA_1B_1

Теперь, когда мы знаем длины сторон треугольника MA_1B_1, мы можем найти его периметр.

Периметр треугольника вычисляется путем сложения длин всех его сторон:

Периметр треугольника MA_1B_1 = MA_1 + A_1B + B_1M Периметр треугольника MA_1B_1 = 2 + 2√3 + 2√3 = 2 + 4√3.

Таким образом, периметр треугольника MA_1B_1 равен 2 + 4√3.

Ответ: Периметр треугольника MA_1B_1 равен 2 + 4√3.