Question

Составить уравнение плоскости, проходящей через: 1) точку M(-2;3;1) параллельно плоскости Oxy; 2) точку M и ось Oy

Answer 1

Ответ:

) Значит плоскость проходит через начало координат и имеет вид

Ах+Ву+Сz=0

базисный вектор k оси Оz имеет координаты

(0;0;1)

Поэтому точка (0;0;1) принадлежит плоскости

Ax+By+Cz=0

A·0+B·0+C·1=0⇒ C=0

Подставляем координаты точки А

2A–3B=0

A=3B/2

Ax+By+Cz=0

(3B/2)x+By=0

Cокращаем на В

3х+2у=0

2)

Нормальный вектор этой плоскости – базисный вектор

k

Поэтому вектор n имеет координаты:

n=(0,0;1)

Значит A=0, B=0, C=1

Уравнение плоскости имеет вид:

z+D=0.

Чтобы найти D подставляем координаты точки А

4+D=0

D=–4

Уравнение плоскости:

z–4=0

О т в е т. а) 3х+2у=0

б) z–4=0

Answer 2

1) Поскольку плоскость проходит через точку M(-2;3;1) и параллельна плоскости Oxy, то она будет иметь нормальный вектор, параллельный нормальному вектору плоскости Oxy.

Нормальный вектор плоскости Oxy равен (0, 0, 1), так как плоскость Oxy параллельна плоскости XY и имеет нормальный вектор, направленный вдоль оси Z.

Таким образом, нормальный вектор плоскости, проходящей через точку M(-2;3;1) и параллельной плоскости Oxy, также будет равен (0, 0, 1).

Уравнение плоскости можно записать в виде:

0(x - (-2)) + 0(y - 3) + 1(z - 1) = 0

Упрощая уравнение, получим:

z - 1 = 0

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку M(-2;3;1) и параллельной плоскости Oxy, будет иметь вид z - 1 = 0.

2) Поскольку плоскость проходит через точку M и параллельна оси Oy, то она будет иметь нормальный вектор, параллельный оси Oy.

Нормальный вектор оси Oy равен (0, 1, 0), так как ось Oy направлена в положительном направлении оси y.

Таким образом, нормальный вектор плоскости, проходящей через точку M и параллельной оси Oy, также будет равен (0, 1, 0).

Уравнение плоскости можно записать в виде:

0(x - xM) + 1(y - yM) + 0(z - zM) = 0

Упрощая уравнение, получим:

y - yM = 0

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку M и параллельной оси Oy, будет иметь вид y - yM = 0.