Question

На биссектрисе BF,проведённой к основанию равнобедренного треугольника АВС, взята точка Е (рисунок 4). Докажите, что треугольник АВЕ = треугольнику СВЕ : признаку ссс; б) не используя его.

Answer 1

Т.к. треугольник АВС равнобедренный=> АВ=ВС, угол А = углу С
т.к. ВЕ биссектрисса=> угол АВЕ=углу ЕВС

треугольник АВЕ=треугольнику ЕВС по 2 признаку равенства треуголников(АВ=ВС, угол А=углу С, угол АВЕ= углу ЕВС.

Answer 2

Доказательство по признаку ССС

Для доказательства равенства треугольников АВЕ и СВЕ по признаку ССС (сторона-сторона-сторона), нам необходимо показать, что у них равны все соответствующие стороны.

1. Пусть треугольник АВС - равнобедренный треугольник, где АВ = АС. 2. Проведем биссектрису BF, которая делит угол АВС пополам и пересекает основание АС в точке Е. 3. Нам нужно доказать, что треугольник АВЕ равен треугольнику СВЕ.

Для этого, нам необходимо доказать, что: - Сторона АВ равна стороне СВ. - Сторона АЕ равна стороне ЕВ. - Сторона ВЕ равна стороне ВЕ.

Докажем каждое из этих утверждений:

1. Сторона АВ равна стороне СВ: - Поскольку треугольник АВС - равнобедренный, то АВ = АС. - Также, поскольку биссектриса BF делит угол АВС пополам, то угол АBF равен углу СBF. - Из этих двух фактов следует, что треугольники АВЕ и СВЕ имеют общую сторону АВ и сторону ВЕ, которая является общей биссектрисой. - Следовательно, сторона АВ равна стороне СВ.

2. Сторона АЕ равна стороне ЕВ: - Поскольку биссектриса BF делит угол АВС пополам, то угол АBE равен углу СBE. - Также, угол АЕВ равен углу ВЕС, так как это вертикальные углы. - Из этих двух фактов следует, что треугольники АВЕ и СВЕ имеют общую сторону АЕ и общую сторону ЕВ. - Следовательно, сторона АЕ равна стороне ЕВ.

3. Сторона ВЕ равна стороне ВЕ: - Это тривиальное утверждение, так как сторона ВЕ равна самой себе.

Таким образом, мы доказали, что треугольник АВЕ равен треугольнику СВЕ по признаку ССС, так как все их стороны равны.

Доказательство без использования признака ССС

Мы также можем доказать равенство треугольников АВЕ и СВЕ без использования признака ССС. Для этого, мы можем воспользоваться другими геометрическими свойствами равнобедренных треугольников.

1. Поскольку треугольник АВС - равнобедренный, то у него две равные стороны: АВ = АС. 2. Проведем биссектрису BF, которая делит угол АВС пополам и пересекает основание АС в точке Е. 3. Поскольку биссектриса BF делит угол АВС пополам, то угол АBF равен углу СBF. 4. Также, угол АЕВ равен углу ВЕС, так как это вертикальные углы. 5. Из угловой равенства АЕВ = ВЕС следует, что сторона АЕ равна стороне ЕВ. 6. Из равенства сторон АВ = АС и АЕ = ЕВ следует, что треугольник АВЕ равен треугольнику СВЕ.

Таким образом, мы доказали равенство треугольников АВЕ и СВЕ без использования признака ССС, а используя свойства равнобедренных треугольников и угловые равенства.