Question

Знайти значення синуса і косинуса найменшого кута прямокутного трикутника, якщо різниця гіпотенузи та меншого катета становить 17 см, а довжина більшого катета 25 см.

Answer 1

Ответ: 168/457.

Объяснение:

Обозначим катеты а и b, а гипотенузу - с.

Пусть меньший катет  - а см, тогда по условию с - а = 17 см, b = 25 см.

По теореме Пифагора с² = а² + b².

Т.к. меньший катет - а см, тогда гипотенуза с = (а + 17) (см).

Получим и решим уравнение:

(а + 17)² = а² + 25²,

а² + 34а + 289 = а² + 625,

34а = 625 - 289,

34а = 336,

17а = 168,

а = 168/17,

а = 9 целых 15/17.

Значит, меньший катет равен 9 целых 15/17 или 168/17 см, а гипотенуза - 9 целых 15/17 + 17 = 26 целых 15/17 или 457/17 см.

Как известно, против меньшей стороны лежит меньший угол, значит, меньший угол - это угол, лежащий против стороны а.

Обозначим этот угол α.

Синус острого угла прямоугольного треугольника - это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Поэтому:

sinα = а/с = 168/17 : 457/17 = 168/457.

Answer 2

Finding the Values of Sine and Cosine of the Smallest Angle in a Right-Angled Triangle

To find the values of the sine and cosine of the smallest angle in a right-angled triangle, we can use the given information about the sides of the triangle.

Given: - Difference between the hypotenuse and the smaller leg (17 cm) - Length of the larger leg (25 cm)

First, let's find the length of the hypotenuse using the Pythagorean theorem, which states that in a right-angled triangle, the square of the length of the hypotenuse (the side opposite the right angle) is equal to the sum of the squares of the lengths of the other two sides.

Using the Pythagorean theorem: - Let the length of the smaller leg be a - Let the length of the hypotenuse be c

The Pythagorean theorem can be expressed as: c^2 = a^2 + b^2

Substituting the given values: c^2 = 25^2 + (25 - 17)^2 c^2 = 625 + 64 c^2 = 689 c ≈ √689 c ≈ 26.23

So, the length of the hypotenuse is approximately 26.23 cm.

Now that we have the lengths of all three sides of the right-angled triangle, we can find the values of the sine and cosine of the smallest angle.

The sine of an angle in a right-angled triangle is defined as the ratio of the length of the side opposite the angle to the length of the hypotenuse. The cosine of an angle is defined as the ratio of the length of the side adjacent to the angle to the length of the hypotenuse.

Let's denote the smallest angle in the triangle as θ.

The sine of θ can be calculated as: sin(θ) = opposite / hypotenuse sin(θ) = a / c

The cosine of θ can be calculated as: cos(θ) = adjacent / hypotenuse cos(θ) = b / c

Substituting the given and calculated values: sin(θ) ≈ a / c sin(θ) ≈ 25 / 26.23 sin(θ) ≈ 0.952

cos(θ) ≈ b / c cos(θ) ≈ 17 / 26.23 cos(θ) ≈ 0.648

Therefore, the sine of the smallest angle in the right-angled triangle is approximately 0.952, and the cosine of the smallest angle is approximately 0.648.