Question

Треугольник со сторонами 72 65 97 вписан в окружность. Найдите сумму расстояний от центра описанной окружности до сторон этого треугольника.

Answer 1

Треугольник со сторонами 72,65,97 вписан в окружность. Найдите сумму расстояний от центра описанной окружности до сторон этого треугольника.

Объяснение:

Расстояние это длина перпендикуляра от точки до отрезка.

Т.к  97²=9 409 , а 72²+65²=5 184+4 225=9 409 , то ΔАВС-прямоугольный по теореме обратной теореме Пифагора .Пусть  гипотенуза АВ=97 ед и катеты АС=65 ед, ВС=72 ед.

Центр описанной окружности-точка пересечения серединных перпендикуляров ,  в прямоугольном треугольнике,  лежит на середине гипотенузы ⇒

МН-серединный перпедикуляр к стороне АС⇒МН-средняя линия ΔАВС и МН=1/2*ВС=1/2*72=36 (ед);

МК-серединный перпедикуляр к стороне ВС⇒МК-средняя линия ΔАВС и МК=1/2*АС=1/2*65=32,5 (ед).

Тогда сумма расстояний от центра описанной окружности ( точки М) до сторон этого треугольника будет МН+МК=36+32,5=68,5(ед).

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулой, связывающей радиус описанной окружности треугольника с его сторонами. Формула известна как формула описанной окружности Герона:

$R = \frac{abc}{4S},$

где $R$ - радиус описанной окружности, $a, b, c$ - стороны треугольника, а $S$ - его площадь.

Для начала найдем площадь треугольника. Можно воспользоваться формулой Герона:

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)},$

где $p$ - полупериметр треугольника, определяемый как $p = \frac{a + b + c}{2}$.

В нашем случае:

$a = 72$, $b = 65$, $c = 97$.

Вычисляем полупериметр:

$p = \frac{72 + 65 + 97}{2} = 114$.

Теперь вычисляем площадь:

$S = \sqrt{114(114 - 72)(114 - 65)(114 - 97)} \approx 1768.8.$

Зная площадь треугольника, можем вычислить радиус описанной окружности:

$R = \frac{72 \cdot 65 \cdot 97}{4 \cdot 1768.8} \approx 54.75.$

Сумма расстояний от центра описанной окружности до сторон треугольника равна трехкратному радиусу описанной окружности:

$\text{Сумма расстояний} = 3 \cdot 54.75 = 164.25.$

Таким образом, сумма расстояний от центра описанной окружности до сторон треугольника составляет 164.25.