Question

Найти первообразную функции f(x) = 10cos10x-1/5*sinx/5, график которой проходит через точку B(5pi/2;-3) Заранее благодарен

Answer 1

f(x) = 10cos(10x)-1/5*sin(x/5);

F(x) = 10/10* sin10x+1/5*5*cos(x/5) +C= =sin10x+cos(x/5)+C ;

-3= sin(10*5π/2) + cos(5π/2:5)+C ;

-3= sin(25π) + cos(π/2)+ C ;

C=-3;

F( x) =sin10x+cos(x/5) -3.

Answer 2

Для нахождения первообразной функции f(x), которая удовлетворяет условию прохождения через точку B(5π/2, -3), мы должны найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x).

Интегрируя каждое слагаемое функции f(x) отдельно, получаем:

∫(10cos(10x) - 1/5*sin(x/5)) dx = ∫10cos(10x) dx - ∫(1/5)*sin(x/5) dx

Для первого слагаемого, используем формулу интегрирования cos(ax):

∫cos(ax) dx = (1/a) * sin(ax)

Применяя формулу к ∫10cos(10x) dx, получаем:

(1/10) * ∫cos(10x) dx = (1/10) * (1/10) * sin(10x) = (1/100) * sin(10x)

Для второго слагаемого, используем формулу интегрирования sin(ax):

∫sin(ax) dx = -(1/a) * cos(ax)

Применяя формулу к ∫(1/5)*sin(x/5) dx, получаем:

-(1/5) * ∫sin(x/5) dx = -(1/5) * (-5) * cos(x/5) = cos(x/5)

Теперь, складываем полученные интегралы и добавляем константу C:

F(x) = (1/100) * sin(10x) + cos(x/5) + C

Используя условие прохождения через точку B(5π/2, -3), мы можем найти значение константы C:

F(5π/2) = (1/100) * sin(10 * (5π/2)) + cos((5π/2)/5) + C = -3

(1/100) * sin(25π) + cos(π/2) + C = -3

sin(25π) + 100cos(π/2) + 100C = -300

Так как sin(25π) = 0 и cos(π/2) = 0, уравнение упрощается:

100C = -300

C = -3

Таким образом, первообразная функции f(x) = 10cos(10x) - (1/5)sin(x/5), проходящая через точку B(5π/2, -3), равна:

F(x) = (1/100) * sin(10x) + cos(x/5) - 3