Question

Відрізок МО - висота конуса, відрізки МА і МВ - його твірні, МО = 4^2 см. Відстань від точки О до прямої АВ дорівнює 2 см. Знайдіть відстань від точки О до площини АМВ.

Answer 1

Ответ:

Расстояние от точки О до плоскости АМВ равно $\displaystyle \frac{4\sqrt{2} }{3}$  см.

Объяснение:

Отрезок МО  -высота конуса, отрезки МА и МВ - его образующие, МО = 4√2 см. Расстояние от точки О до прямой АВ равно 2 см. Найдите расстояние от точки О до плоскости АМВ.

Дано: конус;

МО = 4√2 см;

МА и МВ - образующие;

расстояние от О до АВ = 2 см.

Найти: расстояние от О до АМВ.

Решение:

• Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

⇒ Расстояние от О до АВ  - отрезок ОН = 2 см

• Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра. опущенного из данной точки на плоскость.

⇒ Расстояние от О до АМВ - отрезок ОЕ.

Рассмотрим ΔОМН - прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем МН:

МН² = ОН² + ОМ²

МН² = 4 + 32 = 36 ⇒ МН = 6 (см)

Воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике:

• Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

ОН² = НЕ · НМ

4 = НЕ · 6

НЕ = 2/3 (см)

Рассмотрим ΔОЕН - прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем ОЕ:

ОЕ² = ОН² - НЕ²

$\displaystyle OE^2=4-\frac{4}{9} =\frac{36-4}{9}=\frac{32}{9} \\\\OE=\sqrt{\frac{32}{9} } =\frac{4\sqrt{2} }{3}$

Расстояние от точки О до плоскости АМВ равно $\displaystyle \frac{4\sqrt{2} }{3}$  см.

#SPJ1

Answer 2

Для вирішення цієї задачі скористаємося властивістю подібних трикутників у конусі. Зверніть увагу, що відрізок МО є висотою конуса, тому ми можемо побудувати подібний трикутник МОВ на основі трикутника АВМ.

Використовуючи співвідношення твірних у подібних трикутниках, маємо:

$\frac{MV}{MA} = \frac{OV}{OA}$

Підставимо відомі значення:

$\frac{MV}{MA} = \frac{OV}{OA}$ $\frac{MV}{4^2} = \frac{OV}{2}$

Зауважимо, що твірна MV є висотою трикутника МОВ, а твірна MA є висотою трикутника МАВ, оскільки ці трикутники подібні. Тому, знаючи, що відрізок МО дорівнює 4^2 см (тобто 16 см), можемо позначити відрізок МВ як h, і відрізок МА як 2h (тому що MA = 2MV за властивістю конуса).

$\frac{h}{2h} = \frac{OV}{2}$

Скоротимо спільний множник:

$\frac{1}{2} = \frac{OV}{2}$

Переставимо рівність:

$OV = \frac{1}{2} \cdot 2$

Отримуємо:

$OV = 1$

Отже, відстань від точки О до площини АМВ дорівнює 1 см.