Question

1.Хорда основи конуса завдовжки 12√2 см утворює з одним із його радіусів кут 45°. Знайдіть площу осьового перерізу конуса, якщо твірна цього конуса утворює з площиною основи кут 30°. ​

Answer 1

Ответ:

Площадь осевого сечения равна 48√3 см².

Объяснение:

1. Хорда основания конуса длиной 12√2 см образует с одним из его радиусов угол 45°. Найдите площадь осевого сечения конуса, если образующая этого конуса образует с плоскостью основания угол 30°.

Дано: конус;

АВ = 12√2 см - хорда;

∠ОАВ = 45²; ∠САО = 30°.

Найти: S(ACE)

Решение:

Рассмотрим ΔАВЕ.

∠АВЕ = 90° (вписанный, опирается на диаметр)

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ВЕА = 90° - 45° = 45°

• Если в треугольнике два равных угла, то он равнобедренный.

⇒ ΔАВЕ - прямоугольный, равнобедренный.

АО = ОЕ = R

⇒ ВО - медиана.

• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой.

⇒ ВО ⊥ АЕ

Рассмотрим ΔАОВ - прямоугольный.

• Косинус угла - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$\displaystyle cos\angle {OAB}=\frac{OA}{AB}\\ \\OA=AB\cdot cos\;45^0\\\\OA=12\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2} }{2}=12\;_{(CM)}$

⇒ АЕ = 12 · 2 = 24 (см)

Рассмотрим ΔАСО - прямоугольный.

• Тангенс угла - отношение противолежыщего катета к прилежащему.

$\displaystyle \frac{CO}{AO}=tg\angle{CAO}\\ \\CO=AO\cdot cos\;30^0 \\\\CO=12\cdot \frac{\sqrt{3} }{3}=4\sqrt{3} \;_{(CM)}$

Найдем площадь ΔАСЕ.

• Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенное к этой стороне.

$\displaystyle S(ACO)=\frac{1}{2}\cdot AE\cdot CO=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 4\sqrt{3} =48\sqrt{3}\;_{(CM^2)}$

Площадь осевого сечения равна 48√3 см².

Answer 2

Для вирішення цієї задачі, нам спочатку потрібно з'ясувати, які відрізки маємо у конусі.

Позначимо: r - радіус основи конуса l - довжина твірної, яка утворює кут 30° з площиною основи h - висота конуса

За умовою, хорда основи конуса утворює з радіусом кут 45°. Таким чином, ми маємо правильний трикутник, у якого один кут 45°. Знаючи це, можна обчислити відношення сторін цього трикутника:

r / (12√2) = sin(45°) = √2 / 2

Звідси отримуємо:

r = (12√2 * √2) / 2 = 12

Тепер ми можемо знайти довжину твірної l. За умовою, твірна утворює з площиною основи кут 30°. Знаючи це, ми можемо застосувати тригонометричну функцію sin(30°) для знаходження відношення сторін у трикутнику:

l / r = sin(30°) = 1 / 2

Звідси отримуємо:

l = r * (1 / 2) = 12 * (1 / 2) = 6

Тепер ми можемо знайти висоту h конуса за теоремою Піфагора:

h = √(r^2 - l^2) = √(12^2 - 6^2) = √(144 - 36) = √108 = 6√3

Нарешті, можемо знайти площу осьового перерізу конуса. Площа осьового перерізу залежить від квадрату радіуса конуса, тому:

Площа = π * r^2 = π * 12^2 = 144π

Отже, площа осьового перерізу конуса дорівнює 144π квадратних одиниць.