Question

Спільну хорду двох кіл, що перетинаються, видно з їхніх центрів під кутами 90 і 60°. Знайти радіуси кіл, якщо відстань між їх центрами дорівнює √3+1 з малюнком будь ласка

Answer 1

Ответ:

R = 2 ед.  r = √2 ед.

Объяснение:

Дано:  АВ⊥ОQ, ∠AOB = 60°,  ∠AQB = 90°, OQ = √3 +1.

Найти R и r.

Треугольник АОВ равносторонний (так как ОА =  ОВ = R, а угол при вершине А = 60°. Значит АВ = R.

В прямоугольных треугольниках АОС и AQC углы

∠AОС = 30°, ∠AQС = 45° соответственно (так как АС=СВ и значит OQ - биссектриса углов АОВ и АQВ).

Тогда ОС = R·Cos30 = (R√3)/2, a QC = r·Cos45 =. =>

(R√3)/2 +  (r·√2)/2 = √3 +1.

Так как АВ - гипотенуза равнобедренного прямоугольного  треугольника АQС, то АВ = r·√2 = R (смотри выше). Тогда

(r·√2·√3)/2 + (r·√2)/2 = √3 +1. =>

(r·√2)/2 = 1 и r = 2/√2 = √2 ед. =>

R = r√2 = 2 ед.

Answer 2

Запропоноване завдання вимагає геометричного розв'язання. Оскільки вам потрібно намалювати малюнок, як показано на ньому, я надаю вам опис розв'язку крок за кроком. Ви можете відтворити цей малюнок самостійно, користуючись інструментами геометрії, наприклад, компасом і лінійкою.

Ось як можна розв'язати задачу:

Крок 1: Намалюйте два кола з центрами O₁ і O₂. Позначте радіуси цих колів як r₁ і r₂.

Крок 2: З'єднайте центри колів лінією та позначте цю лінію як O₁O₂.

Крок 3: Позначте точки перетину кіл як A і B.

Крок 4: Оскільки O₁A і O₂B - це відрізки, які починаються в центрах колів і проходять через точки перетину, ці відрізки є радіусами кіл. Позначте довжини цих відрізків як x і y.

Крок 5: За властивістю спільної хорди, O₁A⊥O₂A, а також O₂B⊥O₁B. Оскільки кут між O₁A і O₂A дорівнює 90°, а кут між O₁B і O₂B дорівнює 60°, ми можемо застосувати геометричні властивості трикутників для отримання додаткових рівнянь.

Крок 6: Оскільки O₁A⊥O₂A, та O₁O₂ - гіпотенуза прямокутного трикутника O₁O₂A, ми можемо скористатися теоремою Піфагора:

O₁A² + O₂A² = (O₁O₂)².

Підставивши значення x, y та √3+1 за відстань O₁O₂, ми отримаємо перше рівняння.

Крок 7: Оскільки O₁B⊥O₂B, та O₁O₂ - гіпотенуза прямокутного трикутника O₁O₂B, ми можемо скористатися теоремою Піф