Question

В параллелограмме ABCD на стороне BC выбрана точка М так, что AN : NC = 7 : 3, где N - точка пересечения отрезка DM и диагонали АС. Если площадь треугольника MNC равна 18, то площадь трапеции ABMD равна...​

Answer 1

Ответ:

Ответ: S(trap) = (24a+96)/35.

Объяснение:

Пусть сторона параллелограмма AB равна а, а высота опущенная на эту сторону равна h. Тогда площадь параллелограмма равна S=ah.

Так как точка M лежит на стороне BC, то MN = NC = (3/10) a, а MB = BC - MC = a - AC.

Из подобия треугольников AMN и ANC найдем AN = (7/10)h.

Из подобия треугольников ANM и ABM найдем BM = (7/10)h/(3/10) = (7/3)AN.

Таким образом, AM = AB - BM = a - (7/3)AN.

Из площади треугольника MNC:

18 = (1/2)MN⋅NC = (1/2)(3/10)a⋅(7/10)h

h = 12/7

AN = (7/10)h = 24/10

BM = (7/3)AN = 56/15

AM = a - (7/3)AN = 2a/15

Площадь трапеции ABMD:

S(trap) = (AB+MD)⋅h/2 = (a+BM)⋅h/2 = (a+56/15)⋅12/7/2 = 24a/35 + 96/35 = (24a+96)/35

Ответ: S(trap) = (24a+96)/35.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойством параллелограмма: отношение площадей двух треугольников, имеющих общую высоту, равно отношению их оснований.

Обозначим длину стороны BC как a. Также обозначим отрезок AN как x и отрезок NC как y. Тогда имеем:

x + y = a (1) (так как AN + NC = AC, но AC = a)

AN : NC = 7 : 3

Так как площадь треугольника MNC равна 18, то можно записать:

(1/2) * x * DM = 18

Так как N - точка пересечения отрезка DM и диагонали AC, можно предположить, что DM делит AC на две равные части, то есть DM = (1/2) * AC. Тогда:

(1/2) * x * (1/2) * a = 18

x * a = 72 (2)

Используя систему уравнений (1) и (2), можно найти значения x и a:

x + y = a (1) x * a = 72 (2)

Из уравнения (2) можно выразить x через a:

x = 72 / a

Подставим это значение в уравнение (1):

72 / a + y = a

Перенесем все члены в одну сторону:

y = a - 72 / a

Теперь, чтобы найти площадь трапеции ABMD, нам нужно найти длины ее оснований. Основание AB равно a, а основание MD равно DM + NC.

DM = (1/2) * AC = (1/2) * a

NC = y = a - 72 / a

MD = (1/2) * a + a - 72 / a = (3/2) * a - 72 / a

Площадь трапеции ABMD равна:

S = (1/2) * (AB + MD) * h

где h - высота трапеции.

Так как высота трапеции равна высоте параллелограмма, то h = DM.

Подставим значения в формулу:

S = (1/2) * (a + (3/2) * a - 72 / a) * (1/2) * a

S = (1/4) * (5/2 * a - 72 / a) * a

S = (5/8) * a^2 - (9/8) * 72

S = (5/8) * a^2 - 9 * 9

S = (5/8) * a^2 - 81

Таким образом, площадь трапеции ABMD равна (5/8) * a^2 - 81.