Question

У трапеції ABCD з основами BC і AD діагоналі перетинаються в точці O, BO = 4 см, OD = 20 см, AC = 36 см. Знайдіть відрізки AO і OC.

Answer 1

Ответ:

Оскільки діагоналі трапеції діляться точкою перетину в відношенні, пропорційному відношенню основ, то AO/OC = BO/OD = 4/20 = 1/5. Отже, AO = AC / (1 + 1/5) = 36 / (6/5) = 30 см і OC = AC - AO = 36 - 30 = 6 см.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі, використаємо подібність трикутників. Зверніть увагу, що трапеція ABCD має паралельні основи BC і AD, тому можемо застосувати теорему про переріз діагоналей у трапеції. Згідно з цією теоремою, продукт довжини однієї діагоналі на середню лінію, яка її перетинає, дорівнює продукту довжини іншої діагоналі на її середню лінію. Ми можемо записати це як рівняння:

BO * OC = AO * OD

Підставляючи дані з умови, отримуємо:

4 см * OC = AO * 20 см

Зауважте, що AO + OC дорівнює довжині діагоналі AC. З умови відомо, що AC = 36 см. Тому ми можемо записати друге рівняння:

AO + OC = 36 см

Тепер ми маємо систему двох рівнянь:

4 см * OC = AO * 20 см AO + OC = 36 см

Давайте розв'яжемо цю систему. Використаємо друге рівняння для виразу OC через AO:

OC = 36 см - AO

Підставляємо цей вираз у перше рівняння:

4 см * (36 см - AO) = AO * 20 см

Розкриваємо дужки та спрощуємо рівняння:

144 см - 4 см * AO = 20 см * AO

Переносимо всі члени з AO на одну сторону:

20 см * AO + 4 см * AO = 144 см

24 см * AO = 144 см

Поділимо обидві сторони на 24 см:

AO = 144 см / 24 см

AO = 6 см

Тепер підставимо значення AO у друге рівняння:

6 см + OC = 36 см

OC = 36 см - 6 см

OC = 30 см

Отже, відрізки AO і OC мають довжини 6 см і 30 см відповідно.