Question

В прямоугольной трапеции ABCD угол BAC равен углу DAC. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. DO:OB = 8:5. CD=12 см. Найти площадь трапеции.​

Answer 1

Ответ:

Площадь трапеции 117 см²

Объяснение:

Информация: №1. Накрест лежащие углы – это углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей и лежащие по разные стороны от секущей между параллельным прямыми. Накрест лежащие углы равны.

№2. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

№3. Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

№4. Площадь трапеции S определяется по формуле

$\tt S =\dfrac{a+b}{2} \cdot h$,

где a — основание, b — основание, h — высота трапеции.

Решение. По условию ∠A = ∠D = 90°, α = ∠BAC = ∠DAC, DO:OB = 8:5, CD = 12 см.

Так как AB || CD, то α = ∠BAC = ∠ACD - как накрестлежащие углы (№1), образованные при пересечении двух параллельных прямых AB и CD секущей AC (см. рисунок). Тогда α = ∠DAC = ∠ACD (№2) и поэтому ΔADC равнобедренное : AD = CD = 12 см.

Далее, ∠A = ∠BAC + ∠DAC и поэтому диагональ AC лежит на биссектрисе угла А. Так как DO:OB = 8:5, то (№3), верно равенство: $\tt \dfrac{AB}{AD}= \dfrac{5}{8}$, отсюда $\tt AB = \dfrac{5}{8} \cdot AD = \dfrac{5}{8} \cdot 12 =\dfrac{5}{2} \cdot 3 = 7,5 \; CM.$

Теперь определим площадь трапеции (№4):

$\tt S = \dfrac{AB+CD}{2} \cdot AD=\dfrac{7,5+12}{2} \cdot 12=19,5 \cdot 6=117 \; CM^2.$

#SPJ1

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойством трапеции, что сумма длин оснований умноженная на высоту равна площади трапеции.

Пусть AB будет большим основанием трапеции, а CD - меньшим основанием. Тогда пусть AD = x, а BC = y.

По условию, угол BAC равен углу DAC, что означает, что треугольник ABD является равнобедренным треугольником. Таким образом, AD = BD = x.

Из подобия треугольников ADO и BCO мы можем записать соотношение:

(AD/BC) = (DO/OB)

(x/y) = (8/5)

Отсюда, мы можем найти значение y:

y = (5/8) * x

Также, по теореме Пифагора для треугольника BCD, мы можем записать:

BD^2 = CD^2 + BC^2

x^2 = 12^2 + y^2

Теперь у нас есть два уравнения:

1. y = (5/8) * x
2. x^2 = 144 + y^2

Мы можем решить это систему уравнений, подставить полученные значения x и y в формулу для площади трапеции и найти ответ.

Здесь я предоставлю результаты вычислений:

Решая систему уравнений, мы получаем: x ≈ 10.29 y ≈ 6.43

Теперь, мы можем найти площадь трапеции, используя формулу:

S = (AD + BC) * h / 2

где h - это высота трапеции.

Так как треугольник ABD равнобедренный, высота h проходит через точку O и является биссектрисой угла A.

Тогда мы можем записать следующее соотношение:

x / h = AD / BD

Так как AD = BD = x, мы получаем:

1 / h = 1 / x

h = x

Теперь, мы можем вычислить площадь:

S = (AD + BC) * h / 2 = (x + y) * x / 2 ≈ (10.29 + 6.43) * 10.29 / 2 ≈ 104.97 кв. см

Таким образом, площадь трапеции составляет примерно 104.97 квадратных сантиметра.