Question

M-произвольная точка внутри правильного треугольника.Сумма расстояний от нее до сторон треугольника равна корень из 3.Чему равна площадь треугольника?

Answer 1

Решение в прикрепленном файле

Answer 2

Пусть ABC - правильный треугольник, а M - произвольная точка внутри треугольника.

По условию, сумма расстояний от точки M до сторон треугольника равна √3.

Заметим, что каждое расстояние от точки M до стороны треугольника равно высоте, опущенной из M на эту сторону. Обозначим эти высоты как h1, h2 и h3.

Таким образом, у нас имеется система уравнений: h1 + h2 + h3 = √3 (1)

Так как треугольник ABC - правильный, все его стороны равны между собой. Пусть сторона треугольника равна a.

Тогда площадь треугольника ABC можно выразить через высоту h1: S = (1/2) * a * h1

Аналогично, площади треугольников с высотами h2 и h3 также равны (по свойству правильного треугольника).

Таким образом, площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников с высотами h1, h2 и h3: S = (1/2) * a * h1 + (1/2) * a * h2 + (1/2) * a * h3 = (1/2) * a * (h1 + h2 + h3) = (1/2) * a * √3 (из уравнения (1))

Таким образом, площадь треугольника ABC равна (1/2) * a * √3.