Question

Найдите угол между двумя смежными боковыми гранями правильного тетраэдра

Answer 1

Правильный тетраэдр - это правильная треугольная пирамида у которой все грани являются равносторонними треугольниками. Искомый угол - это угол между высотами двух соседних граней (по определению), то есть это угол при вершине равнобедренного треугольника с боковыми сторонами - высотами граней и основанием - стороной основания тетраэдра. Высота правильного треугольника равна  h=(√3/2)*a, где а - сторона треугольника. Тогда по теореме косинусов: Cosα = (AH+BH²-AB²)/(2*AH*BH) или в нашем случае

Cosα =(1/2)*а²/((1/2)*3а²) = 1/3.

Ответ: α = arccos(1/3) ≈ 70,5°.

Answer 2

У правильного тетраэдра все боковые грани равносторонние треугольники. Для нахождения угла между двумя смежными боковыми гранями нам понадобится знать, какие углы образуют эти грани с основанием тетраэдра.

Правильное тетраэдр имеет 4 треугольника в качестве боковых граней, и каждый из этих треугольников имеет углы по 60 градусов.

Угол между двумя смежными боковыми гранями будет равен углу между их нормалями (прямыми, перпендикулярными к плоскостям граней). Нормали боковых граней тетраэдра пересекаются в центре тетраэдра, образуя высоту тетраэдра, которая проходит через центр основания.

Таким образом, чтобы найти угол между смежными боковыми гранями, нам нужно найти угол между любой из нормалей граней и высотой тетраэдра. Этот угол можно найти с помощью тригонометрии.

У правильного тетраэдра высота, проведенная к основанию, делит его на два равнобедренных треугольника. В каждом из этих треугольников угол между высотой и основанием равен 60 градусов (так как основание - равносторонний треугольник, а высота является биссектрисой этого треугольника).

Таким образом, угол между высотой и основанием равен 60 градусов.

Теперь, чтобы найти угол между двумя смежными боковыми гранями, мы можем рассмотреть один из равнобедренных треугольников, образованных высотой и основанием, и вычислить угол между основанием и смежной боковой гранью.

В таком треугольнике угол между высотой и одним из боковых ребер будет равен половине угла при основании, то есть 30 градусов.

Таким образом, угол между двумя смежными боковыми гранями правильного тетраэдра равен 30 г