Question

Докажите признак параллелограмма по точке пересечения диагоналей

Answer 1

Если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники AOD и COB.

AO=OC 

BO=OD 

∠AOD=∠COB (вертикальные)

Значит, треугольники AOD и COB равны (по двум сторонам и углу между ними). 

∠ADO=∠CBO (если треугольники равны, то и соответствующие углы тоже равны). Эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых AD и BC и секущей BD.

AD∥BC (по признаку параллельных прямых)

AOB=COD, ∠ABO=∠CDO и AB∥CD (аналогично треугольникам AOD и COB.

Доказали, что AD∥BC и AB∥CD

Значит, ABCD — параллелограмм (по определению)

Answer 2

Для доказательства признака параллелограмма по точке пересечения диагоналей мы можем использовать свойства параллелограмма и свойства прямоугольника.

Предположим, у нас есть параллелограмм ABCD с точкой пересечения диагоналей O. Мы хотим доказать, что этот параллелограмм действительно является параллелограммом.

1. Доказательство с использованием свойств параллелограмма:

   • Свойство 1: Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны. Для этого нам нужно доказать, что AB || CD и BC || AD. Рассмотрим треугольники AOB и COD. Так как AD является диагональю, она делит параллелограмм на два треугольника, AOB и COD. Из свойств параллельных линий, углы AOB и COD являются соответственными углами. Также, угол AOB и угол COD являются вертикальными углами и, следовательно, равны. Следовательно, треугольники AOB и COD подобны, и мы можем применить теорему о соотношении сторон в подобных треугольниках. В результате получаем, что AB/CD = AO/CO и BO/DO = AB/CD. Значит, AB/CD = BO/DO = AO/CO, что говорит о параллельности сторон AB и CD, а также BC и AD.
   • Свойство 2: Противоположные углы параллелограмма равны. Поскольку параллелограмм ABCD имеет параллельные стороны, мы можем использовать свойства параллельных линий и соответственных углов, чтобы доказать, что противоположные углы равны. Например, угол A и угол C являются соответственными углами, так как AB || CD и AD является трансверсалью. Поэтому угол A равен углу C. Аналогично можно показать, что угол B равен углу D.
   • Таким образом, с использованием свойств параллелограмма мы доказали, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, а также противоположные углы равны.

2. Доказательство с использованием свойств прямоугольника:

   • Свойство 1