Question

Докажите, что если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом

Answer 1

Так как ромб является параллелограммом, то из признака прямоугольника следует, что ромб, у которого равны диагонали, является прямоугольником, а значит, он является квадратом

Answer 2

Диагонали ромба перпендикулярны друг другу, значит, они делят ромб на прямоугольные треугольники, каждый из катетов которых равен половине  диагонали ромба.  

Если диагонали равны, то и катеты всех четырех треугольников равны, т.е. углы каждого треугольника составляют 90°, 45° и 45°.  

Диагональ ромба делит угол пополам, из чего следует, что все углы ромба 45*2=90°, т.е.  этот ромб - прямоугольник.

Но стороны ромба равны, значит -  этот прямоугольник - квадрат.

Answer 3

Пусть у нас есть ромб ABCD с диагоналями AC и BD.

Так как диагонали равны, то AC = BD.

Рассмотрим треугольник ABC. Он является равнобедренным, так как AB = BC (так как ромб), а также AC является высотой этого треугольника (так как она перпендикулярна BD, которая является основанием).

Таким образом, мы получаем, что AC является медианой и высотой в треугольнике ABC. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к биссектрисе угла при основании, является и высотой и медианой одновременно. Это означает, что угол ABC является прямым.

Аналогично можно показать, что и угол BCD является прямым.

Таким образом, у нас есть прямоугольник ABCD, и так как все углы прямые, то это квадрат.