Question

Доказать теоремы 1. в равнобедренном треугольнике медиана проведённая к основанию является биссектрисой и высотой 2. в равнобедренном треугольнике высота проведённая к основанию является медианой и биссектрисой

Answer 1

Высота. медиана, биссектриса в равнобедренном треугольнике
Доказательство теоремы номер 2:

Дан Δ ABC.
Из точки В проведем высоту BD.
Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD. Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).
Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
В Δ ABD и Δ BCD ∠ BАD = ∠ BСD (из Теоремы 1).
АВ = ВС — боковые стороны равны.
Стороны АD = СD, т.к. точка D отрезок делит пополам.
Следовательно Δ ABD = ΔBCD.
Биссектриса, высота и медиана это один отрезок - BD

Answer 2

1. Доказательство теоремы о медиане, проведенной к основанию равнобедренного треугольника: Пусть ABC - равнобедренный треугольник, где AB = AC, и AM - медиана, проведенная к основанию BC. Нам нужно доказать, что AM является биссектрисой и высотой.

Сначала докажем, что AM является биссектрисой. Пусть точка D на BC такова, что AD является биссектрисой угла A. Тогда мы знаем, что BD = DC (по определению равнобедренного треугольника) и угол ADB = угол ADC (по свойству биссектрисы). Таким образом, треугольники ABD и ACD равны по двум сторонам и углу, и, следовательно, по третьей стороне - AB = AC. Но это означает, что точка M, являющаяся серединой BC и точкой пересечения медиан, лежит на биссектрисе AD угла A. Таким образом, AM является биссектрисой угла A.

Теперь докажем, что AM является высотой. Мы знаем, что AM делит BC пополам, поэтому BM = MC. Также мы знаем, что угол BAM = углу CAM (по равенству сторон AB = AC), а угол BMA = углу CMA (по определению медианы). Следовательно, треугольники BAM и CAM подобны по двум углам, и, следовательно, их высоты соотносятся как AB/AC = 1/1 = BM/MC. Таким образом, AM является высотой.

2. Доказательство теоремы о высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника: Пусть ABC - равнобедренный треугольник, где AB = AC, и AD - высота, проведенная к основанию BC. Нам нужно доказать, что AD является медианой и биссектрисой.

Сначала докажем, что AD является медианой. Мы знаем, что угол BAD = углу CAD (по свойству высоты) и угол ABD = углу ACD (по определению равнобедренного треугольника). Таким образом, треугольники ABD и ACD подобны по двум углам, и, следовательно,