Question

Точка N лежит на стороне АС правильного треугольника ABC. Найти отношение радиусов окружностей, описаннных около треугольника ABN и ABC, если AN/AC=n

Answer 1

      
  $R_{ABC} =\frac{\sqrt{3}AC}{3}\\ BN=n^2*AC^2+AC^2-n*AC^2 = AC\sqrt{n^2-n+1}\\ R_{BNC} = \frac{n\sqrt{n^2-n+1}*AC}{n\sqrt{3}}\\ \frac{R_{BNC}}{R_{ABC}} = \sqrt{n^2-n+1}$

Answer 2

Рассмотрим правильный треугольник ABC и точку N, лежащую на стороне AC.

Пусть O1 и O2 - центры описанных окружностей треугольников ABN и ABC соответственно, а R1 и R2 - их радиусы.

Так как треугольник ABC является правильным, то описанная окружность проходит через вершины A, B и C, и ее радиус равен AC/√3.

Рассмотрим треугольник ANB. Так как угол ABN равен 60 градусам (так как треугольник ABC - правильный), то угол ABN также равен 60 градусам. Следовательно, треугольник ANB также является равносторонним, и его описанная окружность имеет радиус AN/√3.

Таким образом, имеем:

R1 = AN/√3 R2 = AC/√3

Тогда отношение радиусов окружностей будет равно:

R1/R2 = (AN/√3)/(AC/√3) = AN/AC = n

Ответ: отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ABN и ABC, равно n.