Question

В треугольнике АВС АВ=13,ВС=21, АС=20. Найдите площадь треугольника, образованного стороной АС, медианой ВМ и биссектрисой СК данного треугольника.

Answer 1

AC =20
AK/BK =AC/BC
| AK/BK =AC/BC
медиан а  ВM:
(2*BM)² +AC² =2*(AB² +BC²)   ; 
BM =1/2*√((2*(AB² +BC²) -AC²) =  1/2*√ (2*(13² +21²) - 20²) =1/2*√(2*(169+441) -400) =  1/2*√820=1/2*√(4*205) =1/2*2*√205 =√205   ;
BM =√205.
AK/BK =AC/BC  (свойство биссектрисы)
AK / BK =20  /21;           [ 20x+21x =13 ⇒x =13/41].
AK =13*20/41 =260/41;
BK = 13*21/41 =273/11 ;BK² = AC*BC - AK*BK ;
BK² =20*21 -  260/41*273/41= 29880/41²  ;
BK =    6√ 249 0/41.
Потом  по трем сторонам ( если конечно можно построить  треугольник)
вычислить требуемую площадь  по формуле Герона 
Это  решение "в лоб ", нужно  искать  нормальное   

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся теоремой о площади треугольника через медиану и биссектрису. Согласно этой теореме, площадь треугольника, образованного медианой и биссектрисой, равна половине произведения длин медианы и биссектрисы, умноженной на синус угла между ними.

Найдем сначала медиану ВМ. Для этого можно воспользоваться формулой медианы, которая гласит, что медиана, проведенная к стороне треугольника, равна половине длины этой стороны, умноженной на корень из двух. Таким образом, медиана ВМ равна 10√2.

Найдем теперь биссектрису СК. Для этого воспользуемся формулой биссектрисы, которая гласит, что биссектриса угла в треугольнике делит противолежащую сторону в отношении длин смежных сторон. Таким образом, биссектриса СК делит сторону АС в отношении 13:21, то есть в отношении 13/34:21/34, или 13:21/3:4.

Теперь мы можем найти длины сторон треугольника, образованного медианой ВМ и биссектрисой СК. Длина стороны, соответствующей медиане ВМ, равна 10√2, а длины двух других сторон можно найти с помощью теоремы Пифагора:

BC² = AB² + AC² - 2AB·AC·cos(∠BAC) BC² = 13² + 20² - 2·13·20·cos(∠BAC) BC² ≈ 266.99 BC ≈ 16.34

AC² = AB² + BC² - 2AB·BC·cos(∠ABC) AC² = 13² + 16.34² - 2·13·16.34·cos(∠ABC) AC² ≈ 125.43 AC ≈ 11.20

Таким образом, длины сторон треугольника равны 10√2, 16.34 и 11.20.

Найдем теперь синус угла между медианой ВМ и биссектрисой СК. Для этого воспользуемся формулой синуса угла между двумя векторами:

sin(∠VMK) = |VM × CK|