Question

ABCD- трапеция . Точка O является точкой пересечения диагоналей AC и BD .Площадь BOC =4 см в квадрате . Длина отрезка AO в три раза больше длины OC. Найдите площадь треугольника ABC.

Answer 1

Надеюсь, всё более или менее доступно

Answer 2

Обозначим длины сторон трапеции следующим образом:

AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.

Так как AO делит трапецию на два треугольника ABO и ACD, то площадь треугольника ABC можно выразить через площадь этих двух треугольников.

Площадь треугольника ABO равна:

S_ABO = (1/2) * AB * h, где h - высота треугольника ABO.

Чтобы найти высоту треугольника ABO, нам нужно найти длину отрезка OB, который является высотой этого треугольника.

Так как точка O является точкой пересечения диагоналей трапеции, то треугольники AOC и BOD подобны. Значит, мы можем записать следующее соотношение между длинами их сторон:

OC/OD = AC/BD

Так как AC и BD являются диагоналями трапеции, то они равны между собой:

AC = BD

Подставляем это в предыдущее соотношение:

OC/OD = 1

OC = OD

Таким образом, точка O является центром тяжести трапеции, и диагонали AC и BD делятся ею пополам:

OC = OD = (a + c)/2

Также из условия задачи известно, что длина отрезка AO в три раза больше длины OC:

AO = 3OC = 3(a + c)/2

Теперь мы можем найти длину отрезка BO:

BO = AB - AO

BO = a - 3(a + c)/2

BO = (a - 2c)/2

Таким образом, высота треугольника ABO равна:

h = OD - OB

h = (a + c)/2 - (a - 2c)/2

h = c

Подставляем найденные значения в формулу для площади треугольника ABO:

S_ABO = (1/2) * AB * h

S_ABO = (1/2) * a * c

Аналогично, площадь треугольника ACD равна:

S_ACD = (1/2) * CD * h

S_ACD = (1/2) * c * c

Таким образом, площадь треугольника ABC равна:

S_ABC = S_ABO + S_ACD

S_ABC = (1/2) * a * c + (1/2) * c * c

S_ABC = (1/2) * c * (a + c)

Осталось найти значение a + c. Мы уже знаем, что:

c = 2 * sqrt(S_BOC